Упражнение 440 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть объем меди равен \(x\) см³, а объем олова равен \(y\) см³ (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда

\(x - y = 20\).

Плотность меди: \(\frac{438}{x} \) г/см³.

Плотность олова: \(\frac{356}{y} \) г/см³. Тогда

\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{16}{10} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5} \end{cases} \]

\(\frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5}\)   \(/\times 5y(y + 20)\)

\(1780(y + 20) - 2190y = 8y(y+20)\)

\(1780y + 35600 - 2190y = 8y^2 + 160y\)

\(35600 - 410y = 8y^2 + 160y\)

\(8y^2 + 160y + 410y - 35600 = 0\)

\(8y^2 + 570y - 35600 = 0\)  \(/ :2\)

\(4y^2 + 285y - 17800 = 0\)

\(D = 285^2 - 4\cdot4\cdot17800 = \)

\(=81\,225 - 284\,800 =\)

\(=366\,025 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{366\,025} = \sqrt{121\cdot3025} = \)

\(=11\cdot55 = 605\).

\(y_1 = \frac{-285 + 605}{2\cdot4} = \frac{320}{8} = 40\).

\(y_2 = \frac{-285 - 605}{2\cdot4} = \frac{-890}{8} = \)

\(=- \frac{445}{4} = -111\frac14\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 40\), то

\(x = 40 + 20 = 60\).

Ответ: объём меди \(60\ \text{см}^3\), объём олова \(40\ \text{см}^3\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Связь массы, объёма и плотности:

\[ \rho=\frac{m}{V}.\]

2. Если объём олова на 20 меньше объёма меди, то \(x - y = 20\).

3. Если плотность олова больше плотности меди на \(1{,}6\), то

\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]

4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение решения:

Мы выразили плотности через массы и объемы с помощью формулы \(\rho=\frac{m}{V}\). Затем использовали условие разности плотностей и получили уравнение с дробями. После подстановки \(x = y + 20\) получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень (объем не может быть отрицательной). Нашли объем второго куска.

а) Графический способ:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x - y = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ y = x - 4 \end{cases}\)

\( x^2 + y^2 = 16\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 4\).

\(y = x - 4\) - прямая.

\((0; -4)\), \((4; 0)\) - решения системы.

Аналитический способ:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x - y = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ x = y + 4 \end{cases}\)

\((y+4)^2 + y^2 = 16\)

\(y^2 + 8y + 16 + y^2 - 16 = 0\)

\(2y^2 + 8y = 0\)

\(2y(y + 4) = 0\)

\(y = 0\)  или  \(y + 4 = 0\)

                    \(y = -4\)

Если \(y = 0\), то

\(x = 0 + 4= 4\).

Если \(y = -4\), то

\(x = -4 + 4 = 0\).

Ответ: \((4; 0)\), \((0; -4)\).

б) Графический способ:

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ 2y = -x + 5  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ y = -0,5x + 2,5 \end{cases}\)

\(y = x^2 + 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y = -0,5x + 2,5\) - прямая.

\((1; 2)\), \((-1,5; 3,25)\) - решения системы.

Аналитический способ:

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x^2 + 1,\\ x + 2(x^2 + 1) = 5 \end{cases}\)

\(x + 2(x^2 + 1) = 5\)

\(x + 2x^2 + 2 - 5 = 0\)

\(2x^2 + x - 3 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot2\cdot(-3) =\)

\(= 1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1 = \dfrac{-1 + 5}{2\cdot2}=\dfrac{4}{4}=1\).

\(x_2 = \dfrac{-1 - 5}{2\cdot2}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{-3}{2} =\)

\(=-1,5\).

1) Если \(x = 1\), то

\(y = 1^2 + 1= 2\).

2) Если \(x = -1,5\), то

\(y = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25\)

Ответ: \((1; 2)\), \((-1,5; 3,25)\) .

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Чтобы решить систему аналитически, использовали метод подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Квадратные уравнения вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)