Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Пусть нам дан квадрат, площадь которого равна 81 квадратная единица. Чему равна длина стороны этого квадрата?

Примем за сторону (в единичных отрезках) квадрата переменную . Тогда площадь квадрата будет равна 2, а по условию его площадь равна 81 кв. ед. Значит,  математическая модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 81 кв. ед., может быть представлена в виде уравнения 2=81. Корнями данного уравнения являются числа 9 и 9. Действительно, 92=81, (9)2=81. Говорят, что числа 9 и 9 являются квадратными корнями из числа 81.

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .

Примеры:

Квадратными корнями из числа 36 являются числа 6 и 6. Действительно, 62=36, (6)2=36.

Квадратными корнями из числа являются числа и Действительно,

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0, так как существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, - это число 0.

Заметим, что не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Ответом к задаче о нахождении длины стороны квадрата, площадь которого равна 81, является положительный корень уравнения 2=81, то есть число 9. Это число называют арифметическим квадратным корнем из числа 81.

Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа обозначают . При этом знак называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от лат. radix - "корень"). Запись читают: "квадратный корень из ", опуская при чтении слово "арифметический". Выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным выражением. Например, в записи  двучлен  является подкоренным выражением.

Заметим, что:

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Заметим, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида 2= , где 0. Корни этого уравнения - числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа .

Графиком функции = 2, является парабола, которая проходит через начало координат и находится выше оси абсцисс. Графиком функции = является прямая параллельная оси абсцисс. Чтобы решить графически уравнение 2= , необходимо на одной координатной плоскости начертить графики данных функций.

Уравнение 2= при <0 не имеет корней, так как графики функций = 2 и = при <0 общих точек не имеют.

Уравнение 2= при =0 имеет единственный корень =0, так как графики функций = 2 и = 0 имеют только одну общую точку.

Уравнение 2= при >0 имеет два корня, так как графики функций = 2 и =, где >0, имеют две общие точки. При этом корнями уравнения 2= являются числа и . Действительно,

Советуем посмотреть:

Функция у=х^2 и ее график

Свойства арифметического квадратного корня

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Функция y = √x и её график

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Элементы математической логики

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

8 класс

Номер 415, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 516, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 572, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 751, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 783, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 804, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 808, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 894, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 897, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 898, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник