Упражнение 436 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость пешехода из \(A\) равна \(x\) км/ч, а скорость пешехода из \(B\) равна \(y\) км/ч (\(x>0\) и \(y > 0\)). .

Через 4 часа им осталось 4 км до встречи, значит за 4 часа вместе они прошли:

\[ 40 - 4 = 36 \text{ км}. \]

За 4 ч пешеход из \(A\) прошел \(4x\) км, а пешеход из \(B\) - \(4y\) км:

\[ 4x + 4y = 36.\]

Если бы пешеход из \(A\) вышел на 1 час раньше, то до встречи он был бы в пути \(\frac{20}{x}\) ч, а пешеход из \(B\) - \(\frac{20}{y}\) ч:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1\).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 4x + 4y = 36,   / : 4\\ \frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x + y = 9,\\ \frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = 9 - y,\\ \frac{20}{9-y} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]

\(\frac{20}{9-y} - \frac{20}{y} = 1\)  \(/\times y(9-y)\)

\(20y - 20(9-y) = y(9-y)\)

\(20y - 180 + 20y = 9y - y^2\)

\(40y - 180 = 9y - y^2\)

\(40y - 180 - 9y + y^2 = 0\)

\(y^2 + 31y - 180 = 0\)

\(D = 31^2 - 4\cdot1\cdot(-180) = \)

\(=9611 + 720 =961 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{1681} = 41\).

\(y_1 = \frac{-31 + 41}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(y^2 = \frac{-31 - 41}{2\cdot1} = \frac{-72}{2} = -36\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 5\), то

\(x = 9 - 5 = 4\)

Ответ: пешеход из \(A\) шёл со скоростью \(4\) км/ч, пешеход из \(B\) — со скоростью \(5\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути: \(\;s=vt\).

2. Если до встречи осталось 4 км, то пройденное вместе расстояние равно \(40-4 = 36\).

3. При встрече в середине пути каждый проходит половину расстояния: \(20\) км.

4. Формула времени: \(t = \frac sv\).

5. Система с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

6. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Из первого условия нашли сумму скоростей: за 4 часа они вместе прошли 36 км, значит их общая скорость 9 км/ч.

Во втором условии встреча в середине означает, что оба прошли по 20 км, но первый шёл на 1 час дольше. Это приводит к уравнению:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1\).

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень, потому что скорость не может быть отрицательной.

а) \(\begin{cases}6(y-x)-50=y,\\ y-xy=24\end{cases}\)

1) \(6(y-x)-50=y\)

\(6y-6x-50=y\)

\(6y-y=6x+50\)

\(5y=6x+50\)

\(y=\dfrac{6x+50}{5}\)

\(y = 1,2x + 10\)

2) \(y-xy=24\)

\(1,2x + 10 - x(1,2x + 10)=24\)

\(1,2x + 10 - 1,2x^2 - 10x-24=0\)

\(-1,2x^2-8,8x -14 = 0\)  \(/\times (-5)\)

\(6x^2+44x+70=0\)  \(/ : 2\)

\(3x^2+22x+35=0\)

\(a = 3\),  \(b = 22\),  \(c = 35\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=22^2 - 4\cdot3\cdot35 =\)

\(=484 - 420 = 64 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt {64} = 8\).

\(x_1 = \frac{-22 + 8}{2\cdot3} = \frac{-14}{6} = -\frac73 = -2\frac13\).

\(x_2 = \frac{-22 - 8}{2\cdot3} = \frac{-30}{6} = -5\).

Если \(x=-\dfrac{7}{3}\), то

\(y=\dfrac{ ^{\color{blue}{2}} \cancel6\cdot(-\frac{7}{\cancel3})+50}{5}=\dfrac{-14+50}{5}=\)

\(=\dfrac{36}{5} = 7\frac15\).

Если \(x=-5\), то

\(y=\dfrac{6\cdot(-5)+50}{5}=\dfrac{-30+50}{5}=\)

\(=\dfrac{20}{5}=4\).

Ответ: \(\left(-2\dfrac{1}{3};7\dfrac{1}{5}\right),\ (-5;4)\).

б) \(\begin{cases}p+5t=2(p+t),\\ pt-t=10\end{cases}\)

1) \(p+5t=2(p+t)\)

\(p+5t=2p+2t\)

\(p-2p+5t-2t=0\)

\(-p+3t=0\)

\(p=3t\)

2) \(pt-t=10\)

\(3t\cdot t - t = 10\)

\(3t^2-t-10=0\)

\(a = 3\),  \(b = -1\),  \(c = -10\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-1)^2 - 4\cdot 3\cdot(-10) =\)

\(= 1 + 120 = 121 > 0\)- два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt {121} = 11\).

\(t_1 = \frac{1 + 11}{2\cdot3} = \frac{12}{6} = 2\).

\(t_2 = \frac{1 - 11}{2\cdot3} = \frac{-10}{6} = -\frac53=-1\frac23\).

Если \(t=2\), то

\(p=3\cdot 2=6\)

2) Если \(t=-\dfrac{5}{3}\), то

\(p=3\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)=-5\)

Ответ: \((6;2),\ (-5;-1\dfrac{2}{3})\)

Пояснения:

Для решения систем уравнений удобно использовать метод подстановки.

В пункте а) из первого уравнения выражаем \(y\) через \(x\). Затем подставляем это выражение во второе уравнение. После подстановки получаем уравнение с одной переменной, которое приводится к квадратному. После решения квадратного уравнения находим два значения \(x\), а затем подставляем их обратно, чтобы найти соответствующие значения \(y\).

В пункте б) из первого уравнения выражаем \(p\) через \(t\). Затем подставляем это выражение во второе уравнение. После подстановки получаем уравнение с одной переменной, которое приводится к квадратному. После решения квадратного уравнения находим два значения \(t\), а затем подставляем их обратно, чтобы найти соответствующие значения \(p\).