Упражнение 445 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y=-3{,}5x^2-2{,}6\) - парабола, ветви которой направлены вниз с вершиной \((0; -2,6)\), поэтому парабола расположена в III и IV координатных четвертях.

Ответ: в I и II координатных четвертях точек графика нет.

б) \( y=x^2-12x+34 \)

\( y=(x^2-12x + 36) - 36 +34 \)

\( y=(x-6)^2-2\) - парабола ветви которой направлены вверх с вершиной \((6; -2)\), поэтому парабола расположена в I, II и IV координатных четвертях.

Ответ: в III координатной четверти точек графика нет.

Пояснения:

Графиком функции вида

\(y = ax^2 + bx + c \)

является парабола.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположена парабола, нужно определить направление ветвей параболы и координаты ее вершины.

За направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\):

если \(a > 0\), то ветви параболы направлены вверх и в вершине параболы функция принимает наименьшее значение;

если \(a < 0\), то ветви параболы направлены вниз и в вершине параболы функция принимает наибольшее значение.

Чтобы определить координаты вершины параболы, приводим функцию к виду

\(y = (a - m)^2 + n\).

Тогда вершина параболы имеет координаты \((m; n)\).

Пункт а)

Схематичный график:

Пункт б)

Схематичный график:

а) \( \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11,\\ x - 2y = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11,\\ x = 2y + 1 \end{cases} \)

\( (1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11\)

\( 1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 - 11 = 0\)

\( 5y^2 + 5y - 10 = 0\)  \(/ : 5\)

\( y^2 + y - 2 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) =\)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(y_1 = \frac{-1 + 3}{2\cdot1} = \frac22 = 1\).

\(y_2 = \frac{-1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Если \( y = 1\), то

\(x = 2\cdot1 + 1 = 2 + 1 = 3\).

Если \(y = -2\), то

\(x = 2\cdot(-2) + 1 = -4 + 1 = -3\).

Ответ: \((-3,-2),\ (3,1).\)

б) \( \begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9,\\ 3x + 2y = -1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9,\\ 2y = -3x - 1    / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + x(-1,5x - 0,5) - 3(-1,5x - 0,5) = 9,\\ y = -1,5x - 0,5 \end{cases} \)

\(x^2 + x(-1,5x - 0,5) - 3(-1,5x - 0,5) = 9\)

\(x^2 -1,5x^2 - 0,5x + 4,5x + 1,5 - 9 = 0\)

\(-0,5x^2 + 4x - 7,5 = 0\)     \(/\times (-2)\)

\(x^2 - 8x + 15 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot15 = \)

\(= 64 - 60 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\(x_1 = \frac{8 + 2}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{8 - 2}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

Если \( x = 5 \), то

\(y =-1,5\cdot5 - 0,5 = -7,5 - 0,5 = -8\).

Если \( x = 3 \), то

\(y =-1,5\cdot3 - 0,5 = -4,5 - 0,5 = -5\).

Ответ: \( (3,-5),\ (5,-8).\)

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Для пункта а) после подстановки \(x = 1 + 2y\) получили уравнение \[ y^2 + y - 2 = 0, \] решив которое определили пару значений \(y\), для каждого из которых нашли соответствующие значения \(x\).

Для пункта б) подстановка \[ y = -1,5x - 0,5 \] приводит к квадратному уравнению \[ x^2 - 8x + 15 = 0, \] решив которое определили пару значений \(x\), для каждого из которых нашли соответствующие значения \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).