Упражнение 437 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

434 435 436 437 438 439 440

Вопрос

Выберите год учебника

№437 учебника 2023-2026 (стр. 129):

Из пункта \(M\) в пункт \(N\), расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт \(N\) на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.


№437 учебника 2014-2022 (стр. 120):

Решите систему уравнений:

а) \(\begin{cases}(x-2)(y+3)=160,\\ y-x=1;\end{cases}\)

б) \(\begin{cases}(x-1)(y+10)=9,\\ x-y=11.\end{cases}\)

Подсказка

№437 учебника 2023-2026 (стр. 129):


№437 учебника 2014-2022 (стр. 120):

Ответ

№437 учебника 2023-2026 (стр. 129):

\(54\) мин = \(\frac{54}{60} \) ч = \(\frac{9}{10}\) ч.

Пусть скорость туриста из \(M\) равна \(x\) км/ч, а туриста из \(N\) - \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)).

По условию скорости отличаются на 1 км/ч:

\[ y - x =1. \]

Время движения туриста из \(M\):  \( \frac{18}{x}\) ч, туриста из \(N\):  \( \frac{18}{y} \) ч. В пункт \(N\) турист прибыл на \(\frac{9}{10}\) ч позже:

\[ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y-x=1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y= x + 1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10} \end{cases} \]

\( \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10}\)   \(/\times10x(x+1)\)

\(180(x+1) -180x =9x(x+1)\)

\(\cancel{180x} + 180 - \cancel{180x} = 9x^2 + 9x\)

\(180 = 9x^2 + 9x\)

\(9x^2 + 9x - 180 = 0\)   \( / : 9\)

\(x^2 + x - 20 = 0\)

\(D = 1^2 = 4\cdot1\cdot20 =\)

\(=1 + 80 = 81 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{81} = 9\).

\(x_1 = \frac{-1 + 9}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{-1 - 9}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 4\), то

\(y = 4 + 1 = 5\).

Ответ: скорости туристов \(4\) км/ч и \(5\) км/ч.


Пояснения:

Правила и формулы, которые использовались:

1. Время движения: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).

2. Перевод минут в часы:

\(\;54\text{ мин}=\dfrac{54}{60}=\dfrac{9}{10}\text{ ч}\).

3. Если один приехал позже, то его время больше:

\(\;t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=\dfrac{9}{10}\).

4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение шагов:

Первое уравнение \(y - x=1\) задаёт разницу скоростей. Второе уравнение получено из разности времён прохождения одинакового расстояния 18 км. После подстановки получилось квадратное уравнение, из которого взяли положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной.


№437 учебника 2014-2022 (стр. 120):

а) \(\begin{cases}(x-2)(y+3)=160,\\ y-x=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-2)(x+1+3)=160,\\ y=x+1\end{cases}\)

\((x-2)(x+1+3)=160\)

\((x-2)(x+4)=160\)

\(x^2 + 4x - 2x - 8 - 160 = 0\)

\(x^2 +2x - 168 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -168\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(= 2^2 - 4\cdot1\cdot(-168) =\)

\( = 4 + 672 = 676 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt 676 = 26\)

\(x_{1} = \frac{-2 + 26}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

\(x_{2} = \frac{-2 - 26}{2\cdot1} = \frac{-28}{2} = -14\).

Если \(x=12\), то

\(y=12+1=13\).

Если \(x=-14\), то

\(y=-14+1=-13\).

Ответ: \((-14;-13),\ (12;13)\)

б) \(\begin{cases}(x-1)(y+10)=9,\\ x-y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases}(y+11-1)(y+10)=9,\\ x=y+11\end{cases}\)

\((y+11-1)(y+10)=9\)

\((y+10)(y+10)-9=0\)

\((y + 10)^2 - 3^2 = 0\)

\((y + 10 - 3)(y + 10 + 3) = 0\)

\((y + 7)(y + 13) = 0\)

\(y + 7 = 0\)  или  \(y + 13 = 0\)

\(y = -7\)               \(y = -13\)

Если \(y = -7\) , то

\(x=-7+11 = 4\).

Если \(y = -13\) , то

\(x=-13+11 = -2\).

Ответ: \((4;-7),\ (-2;-13)\).


Пояснения:

Для решения систем используется метод подстановки.

В пункте а) из второго уравнения выражаем \(y\), подставляем в первое уравнение. После раскрытия скобок получаем квадратное уравнение, которое имеет два корня. Далее для каждого значения \(x\) находится соответствующее \(y\).

В пункте б) из второго уравнения выражаем \(x\), подставляем в первое уравнение. После преобразований получаем выражение, соответствующее разности квадратов. Учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем два корня уравнения.  Далее для каждого значения \(y\) находится соответствующее \(x\).


Вернуться к содержанию учебника