Упражнение 438 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(30\text{ мин}=\dfrac{1}{2}\text{ ч}\).

\(25\text{ мин}=\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12}\text{ ч}\)

Пусть скорость мотоциклиста, выехавшего из \(M\), равна \(x\) км/ч, а мотоциклиста, выехавшего из \(N\) равна \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда

\(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).

Время прибытия в \(N\) для первого: \(\dfrac{50}{x}\), в \(M\) для второго: \(\dfrac{50}{y}\). По условию в \(M\) прибыли на 25 мин раньше, чем в \(N\):

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\)

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+y)=50,  /\times 2 \\[6pt] \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x+y=100,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y=100 - x,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12}\)  \(/\times 12x(100 - x\)\)

\(600(100 - x) - 600x =5x(100 -x)\)

\(60\,000 - 600x - 600x = 500x - 5x^2\)

\(60\,000 - 1200x = 500x - 5x^2\)

\(60\,000 - 1200x - 500x + 5x^2 = 0\)

\(5x^2 -1700x + 60\,000 = 0\)  \(/ : 5\)

\(x^2 - 340x + 12\,000 = 0\)

\( D=(-340)^2-4\cdot 1\cdot 12000=\)

\(=115600-48000=67600 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{67600}=260\).

\( x_1=\frac{340-260}{2\cdot1} = \frac{80}{2} =40 \).

\( x_2=\frac{340+260}{2\cdot1} = \frac{600}{2} =300 \) - не удовлетворяет условию задачи.

Если \(x =- 40\), то

\(y=100-40=60\).

Ответ: скорость мотоциклиста из \(M\): \(40\) км/ч, из \(N\): \(60\) км/ч.

Пояснения:

Правила и формулы:

1) Путь: \(\;s=vt\), время: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).

2) При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей: \(\;v_{\text{сбл}}=x+y\).

3) Разность моментов прибытия выражается разностью времен.

4) Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Почему получились уравнения системы:

За \(\dfrac{1}{2}\) часа до встречи оба вместе проехали 50 км, значит \(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).

Чтобы доехать до противоположного пункта, каждому нужно проехать 50 км: времена в пути \(\dfrac{50}{x}\) и \(\dfrac{50}{y}\).

Так как в \(M\) прибыли на \(\dfrac{5}{12}\) часа раньше, чем в \(N\), записываем

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\) (в \(M\) приехал мотоциклист из \(N\), значит его время меньше).

Проверка смысла ответа:

\(\dfrac{50}{40}=1{,}25\text{ ч}=75\text{ мин}\),

\(\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}\text{ ч}=50\text{ мин}\),

разница \(75-50=25\) мин — условие выполняется.

а) \(\begin{cases}x^2-4=0,\\ xy=6.\end{cases}\)

\(x^2=4\)

\(x=2\) или \(x=-2\)

1) Если \(x=2\), то

\(2y=6\)

\(y = \frac62\)

\(y=3\)

2) Если \(x=-2\), то

\(-2y=6\)

\(y = -\frac62\)

\(y=-3\)

Ответ: \((2;3),\ (-2;-3)\).

б) \(\begin{cases}x^2-5x+6=0,\\ y^2-6y+5=0.\end{cases}\)

1) \(x^2-5x+6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 6\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(= 25 - 24 = 1 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt 1 = 1\).

\(x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{5 - 1}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

2) \(y^2-6y+5=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 = \)

\(= 36 - 20 = 16 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{16} = 4\)

\(y_1 = \frac{6 + 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(y_2 = \frac{6 - 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Ответ: \((2;1),\ (2;5),\ (3;1),\ (3;5)\).

Пояснения:

В пункте а) первое уравнение содержит только переменную \(x\):

\[ x^2-4=0. \]

Сначала решаем именно его. Переносим число \(4\) вправо:

\[ x^2=4. \]

Отсюда получаем два значения:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=-2. \]

После этого каждое найденное значение \(x\) подставляем во второе уравнение:

\[ xy=6. \]

Если \(x=2\), то

\[ 2y=6, \] откуда \[ y=3. \]

Если \(x=-2\), то

\[ -2y=6, \] откуда \[ y=-3. \]

Поэтому система имеет два решения:

\[ (2;3),\ (-2;-3). \]

В пункте б) каждое уравнение содержит только одну переменную, поэтому их можно решать отдельно.

Каждое уравнение имеет вид:

\(ax^2 + bx + c = 0\).

Решаем такие уравнения через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Каждое из уравнений имеет два решения. Теперь нужно составить все возможные пары из найденных значений \(x\) и \(y\), потому что каждое значение \(x\) можно соединить с каждым значением \(y\).