Упражнение 444 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\), так как

\(2-\sqrt{3} > 0\).

б) \(|\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) =\)

\(=3-\sqrt{5}\), так как

\(\sqrt{5}-3 < 0\).

в) \(|\sqrt{2}-1{,}5| = (\sqrt{2}-1{,}5) =\)

\(=1{,}5-\sqrt{2}\), так как

\(\sqrt{2}-1{,}5 < 0 \).

г) \(|\sqrt{3}-1{,}7| = \sqrt{3}-1{,}7\), так как

\(\sqrt{3}-1{,}7 > 0 \).

Пояснения:

Правило модуля:

\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0,\\ -a, & \text{если } a < 0. \end{cases} \]

Пояснение к каждому пункту:

а) Так как \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), то \(2-\sqrt{3} > 0\), знак модуля убирается без изменения выражения.

б) \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\), поэтому \(\sqrt{5}-3 < 0\), при снятии модуля меняем знак.

в) \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\), значит \(\sqrt{2}-1{,}5 < 0\), модуль раскрывается со сменой знака.

г) \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), поэтому \(\sqrt{3}-1{,}7 > 0\), знак модуля убирается без изменения.

а) \( \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16, \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16, \\ 2x - 3(x^2 - 8x + 16) = 0 \end{cases} \)

\(2x - 3(x^2 - 8x + 16) = 0\)

\(2x - 3x^2+24x - 48 = 0\)

\(-3x^2 + 26x -48 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(3x^2 - 26x + 48 = 0\)

\(a = 3\),  \(b= -26\),  \(c = 48\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-26)^2-4\cdot3\cdot48=\)

\(=676-576=100 > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 10\).

\( x_1 = \frac{-(-26) + 10}{2\cdot3} = \frac{36}{6} =6\).

\( x_2 = \frac{-(-26) - 10}{2\cdot3} = \frac{16}{6} =\frac83 =2\frac23 \)

\( y_1 = 6^2 - 8\cdot6 + 16 =\)

\(=36 - 48 + 16 = 4\).

\( y_2 = (2\frac23)^2 - 8\cdot2\frac23 + 16 = \)

\(=(\frac83)^2 - 8 \cdot \frac83 + 16 = \)

\(=\frac{64}{9}-\frac{64}{3} ^{\color{blue}{\backslash3}} + 16 = \)

\(=\frac{64}{9}-\frac{192}{9}+16 =\)

\(=-\frac{128}{9} + 16 =-14\frac29 + 16 = \)

\(=15\frac99 - 14\frac29 = 1\frac79\)

Ответ: точки пересечения параболы и прямой: \((6;4)\), \((2\frac{2}{3};1\frac{7}{9})\).

б) \( \begin{cases} (x-5)^2 + (y-4)^2 = 65, \\ 3x - y + 6 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x-5)^2+(3x+6-4)^2=65, \\ y=3x+6 \end{cases} \)

\( (x-5)^2+(3x+6-4)^2=65 \)

\[ (x-5)^2+(3x+2)^2=65 \]

\[ x^2-10x+25+9x^2+12x+4-65=0 \]

\( 10x^2+2x-36=0 \)    \(/ : 2\)

\[ 5x^2+x-18=0 \]

\(a = 5\),  \(b = 1\),  \(c = -18\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=1-4\cdot 5\cdot (-18) =\)

\( =1+360=361  > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),  \( \sqrt{D}=19 \)

\[ x_1=\frac{-1+19}{2\cdot 5}=\frac{18}{10}=1,8 \]

\[ x_2=\frac{-1-19}{2\cdot 5}=\frac{-20}{10}=-2 \]

\[ y_1=3\cdot 1,8+6=5,4 + 6 = 11,4 \]

\[ y_2=3\cdot (-2)+6=-6+6=0 \]

Ответ: точки пересечения окружности и прямой: \( (1,8; 11,4),\; (-2;0) \).

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении каждой системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований в каждом пункте получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

а) Для нахождения точек пересечения составляем систему: первое уравнение описывает параболу, второе — прямую. Решение системы даёт координаты точек пересечения.

б) Для нахождения точек пересечения составляем систему: первое уравнение описывает окружность, второе — прямую. Решение системы даёт координаты точек пересечения.