Упражнение 442 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть массу первого (70%-го) раствора равна \(x\), а масса второго (30%-го) раствора равна \(y\). Тогда масса вещества в первом растворе: \( 0{,}7x, \) а масса вещества во втором растворе: \( 0{,}3y. \) Масса полученного раствора: \( x+y. \) Концентрация нового раствора 40%, значит масса вещества в нём равна: \( 0{,}4(x+y). \)

Составим уравнение:

\[ 0{,}7x + 0{,}3y = 0{,}4(x+y), \]

\[ 0{,}7x + 0{,}3y = 0{,}4x + 0{,}4y, \]

\[ 0{,}7x - 0{,}4x = 0{,}4y - 0{,}3y, \] \[ 0{,}3x = 0{,}1y, \]

\[ \frac{x}{y} = \frac{0{,}1}{0{,}3} \]

\[ \frac{x}{y} = \frac{1}{3}. \]

Ответ: отношение массы первого раствора к массе второго равно \(\;1:3\).

Пояснения:

Правила и формулы, которые использовались:

1. Масса растворённого вещества в растворе равна произведению концентрации (в долях) на массу раствора:

\[ m_{\text{вещества}} = c \cdot m_{\text{раствора}}. \]

2. При смешивании растворов масса растворённого вещества сохраняется:

\[ c_1x + c_2y = c_{\text{нов}}(x+y). \]

3. После составления уравнения приводим подобные и находим отношение \(\dfrac{x}{y}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\) — массы двух растворов. Количество вещества в смеси равно сумме количеств вещества в каждом растворе.

Так как конечная концентрация 40%, то масса вещества в полученном растворе равна \(0{,}4(x+y)\). Приравнивая это выражение к сумме \(0{,}7x+0{,}3y\), получаем уравнение и находим требуемое отношение масс.

а) \(\begin{cases} x^2+y^2+3xy=-1, \\ x+2y=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-2y)^2+y^2+3\cdot(-2y)\cdot y=-1, \\ x=-2y \end{cases}\)

\( (-2y)^2+y^2+3\cdot(-2y)\cdot y=-1 \)

\( 4y^2+y^2-6y^2=-1 \)

\( -y^2=-1 \)

\(y^2=1 \)

\(y = \pm\sqrt1\)

\( y=\pm1\)

Если \(y=1\), то

\(x=-2\cdot1 = -2\).

Если \(y=-1\), то

\(x=-2\cdot(-1)=2\).

Ответ: \((-2;1), (2;-1)\).

б) \(\begin{cases} u+2v=4, \\ u^2+uv-v=-5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} u=4-2v, \\ (4-2v)^2+(4-2v)v-v=-5 \end{cases}\)

\( (4-2v)^2+(4-2v)v-v=-5 \)

\( 16-16v+4v^2+4v-2v^2-v+5=0\)

\( 2v^2-13v+21=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -13\),  \(c = 21\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-13)^2-4\cdot2\cdot21=\)

\(=169-168=1 \),     \(\sqrt D = 1\).

\(v_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( v_1 = \frac{-(-13) + 1}{2\cdot2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}=3,5\).

\( v_2 = \frac{-(-13) - 1}{2\cdot2} = \frac{12}{4} = 3\).

\(u_1=4-2\cdot3,5=4-7=-3\).

\(u_2=4-2\cdot3=4-6=-2\).

Ответ: \((-2;3), (-3;3,5)\).

Пояснения:

При решении каждой системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и выполнения преобразований в каждом случае получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).