Формула корней квадратного уравнения

В данной статье мы выведем формулу корней квадратного уравнения, которая позволит по коэффициентам , и квадратного уравнения находить его корни. Итак, имеем квадратное уравнение:

Так как , то, умножив обе части этого уравнения на получим уравнение, которое будет равносильно данному:

Теперь выделим в левой части полученного уравнения квадрат двучлена:

Теперь существование корней уравнения (2) и их количество зависит от значения выражения . Данное значение называют дискриминантом (от лат. discriminare - "различать", "разделять") квадратного уравнения и обозначают буквой , то есть

То есть уравнение (2) можно записать следующим образом:

Очевидно, что возможны три случая: <0, = 0, >0. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если <0, то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеют, так как при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если <0, то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если = 0, то уравнение(3) принимает вид:

Откуда имеем

Вывод: если = 0, то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если >0, то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или . Тогда или

Вывод: если > 0, то квадратное уравнение имеет два корня и :

Применима и краткая форма записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Эту формулу можно применять и в случае, когда = 0. Имеем:

Алгоритм решения квадратных уравнений:

  • найти дискриминант квадратного уравнения;
  • если < 0, то в ответе записать, что корней нет;
  • если 0, то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде , то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления. Рассмотрим квадратное уравнение

Найдем его дискриминант:

Обозначим выражение через

Если 0, то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

, где

Советуем посмотреть:

Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Теорема Виета

Квадратный трёхчлен

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Элементы математической логики

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1065, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

8 класс

Номер 656, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 661, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 664, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 666, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 669, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 743, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер Когда сделаны уроки, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 823, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 938, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник