Упражнение 439 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть плотность одной жидкости \(x\ \text{г/см}^3\), а плотность второй жидкости \(y\ \text{г/см}^3\) (\(x>0\), \(y > 0\)). . Тогда:

\(y=x+0{,}2\)

Общий вес смеси:

\(12+14=26\)

Объем смеси:

\(\dfrac{26}{1{,}3} = \dfrac{260}{13} = 20\)

Объём первой жидкости:  \(\dfrac{12}{x}\) см³.

Объём второй жидкости:  \(\dfrac{14}{y}\) см³.

Объем смеси:

\(\dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{y}=20.\)

Составим систему:

\(\begin{cases} y=x+0{,}2, \\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{y}=20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=x+0{,}2, \\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{x+0{,}2}=20 \end{cases}\)

\(\dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{x+0{,}2}=20\)  \(/\times x(x+0{,}2)\)

\(12(x + 0,2) + 14x = 20x(x + 0,2)\)

\(12x + 2,4 + 14x =20x^2 +4x\)

\(26x + 2,4 = 20x^2 + 4x\)

\(20x^2 + 4x - 26x - 2,4 = 0\)

\(20x^2 - 22x -2,4 = 0\)   \(/ : 2\)

\(10x^2 - 11x - 1,2 = 0\)   \(/\times 5\)

\(50x^2 - 55x - 6 = 0\)

\(D=55^2-4\cdot 50\cdot(-6)=\)

\(=3025+1200=4225 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{4225}=65\).

\(x_1=\dfrac{55+65}{2\cdot 50}=\dfrac{120}{100} =1{,}2\).

\(x_2=\dfrac{55-65}{2\cdot 50}=\dfrac{-10}{100} =-0,1\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 1,2\), то

\(y1{,}2+0{,}2=1{,}4\).

Ответ: плотности жидкостей: \(1{,}2\ \text{г/см}^3\) и \(1{,}4\ \text{г/см}^3\).

Пояснения:

Правила и формулы, которые использовались:

1. Связь массы \(m\), объёма \(V\) и плотности \(\rho\):

\[ \rho=\frac{m}{V}, \qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

2. При смешивании массируются массы:

\(m_{\text{смеси}}=m_1+m_2\).

3. Объёмы складываются:

\(V_{\text{смеси}}=V_1+V_2\).

4. Если одна плотность больше другой на \(0{,}2\), то связь можно записать как \(y=x+0{,}2\).

5. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

6. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение к составлению уравнений:

Смесь имеет массу \(26\) г и плотность \(1{,}3\ \text{г/см}^3\), значит её объём равен

\[ V_{\text{см}}=\frac{26}{1{,}3}=20\ \text{см}^3. \]

Объёмы исходных жидкостей выражаются через их плотности:

\[ V_1=\frac{12}{x}, \qquad V_2=\frac{14}{y}. \]

Так как объёмы складываются, получаем уравнение:

\[ \frac{12}{x}+\frac{14}{y}=20. \]

Вместе с условием разности плотностей \(y=x+0{,}2\) это даёт систему двух уравнений с двумя переменными.

Подстановкой выразили \(y\) через \(x\), свели задачу к одному уравнению с дробями. После подстановки получилось квадратное уравнение, из которого взяли положительный корень, так как плотность не может быть отрицательной.

\(\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y - x = 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y = x+2 \end{cases}\)

1) Графический способ:

\(y=0,5x^2-2\) - парабола.

\(y = x+2\) - прямая.

2) Аналитический способ:

\(\begin{cases} x+2 = 0,5x^2 - 2, \\ y = x+2 \end{cases}\)

\( x+2=0,5x^2-2 \)

\( 0,5x^2 - x - 2-2 = 0 \)

\( 0,5x^2 - x - 4 = 0 \)    \(/\times2\)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -8\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4 + 32 = 36\),     \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-2) + 6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\( x_1 = \frac{(-(-2) - 6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 4 + 2 = 6\).

\(y_2 = -2 + 2 = 0\)

Ответ: \((4;6)\), \((-2;0)\).

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

В качестве аналитического способа используем метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.