Упражнение 441 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) г — масса исходного раствора; \(y\) г — масса нового раствора (\(x>0\), \(y > 0\)). Тогда

\[ y = x + 150. \]

Концентрация соли в исходном растворе: \( \frac{50}{x}. \)

Концентрация соли в новом растворе: \( \frac{50}{y}. \)

По условию концентрация уменьшилась на \(7,5\% = 0,075\), значит:

\[ \frac{50}{x} - \frac{50}{y} = 0,075. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x + 150,\\ \frac{50}{x} - \frac{50}{y} = 0,075 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 150,\\ \frac{50}{x} - \frac{50}{x + 150} = 0,075 \end{cases} \]

\(\frac{50}{x} - \frac{50}{x + 150} = 0,075\)  \(/\times x(x + 150)\)

\(50(x + 150) - 50x = 0,075x(x + 150)\)

\(\cancel{50x} + 7500 - \cancel{50x} = 0,075x^2 + 11,25x\)

\(7500 = 0,075x^2 + 11,25x\)

\( 0,075x^2 + 11,25x - 7500 = 0\) \(/\times 40\)

\(3x^2 + 450x - 300\,000 = 0\)   \(/ : 3\)

\(x^2 + 150x - 100\,000 = 0\)

\(D = 150^2 - 4\cdot1\cdot(-100\,000) =\)

\(= 22\,500 + 400\,000= \)

\(=422\,500 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{422\,500} = 650\).

\(x_1 = \frac{-150 + 650}{2\cdot1} = \frac{500}{2} = 250\).

\(x_2 = \frac{-150 - 650}{2\cdot1} = \frac{-800}{2} = -400\) - не удовлетворяет условию.

1) \(250\) г - масса раствора.

2) \(250 - 50 = 200\) (г) - масса воды в растворе.

3) \(\frac{50}{250}\cdot100 = \frac15\cdot100 = 20\%\) - концентрация раствора.

Ответ: в исходном растворе было 200 г воды, концентрация раствора составляла 20%.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Концентрация раствора:

\[ c = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot 100\%. \]

2. Масса нового раствора равна сумме массы исходного раствора и добавленной воды.

3. Уменьшение концентрации на 7,5% означает разность концентраций.

4. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение шагов:

В задаче неизвестны массы исходного и нового растворов, поэтому они обозначены через \(x\) и \(y\). Первое уравнение отражает добавление воды, второе — изменение концентрации.

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого нашли массу исходного раствора, учитывая то, что масса не может быть отрицательным числом, а затем нашли массу воды и концентрацию.

а) \( \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11,\\ x - 2y = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11,\\ x = 2y + 1 \end{cases} \)

\( (1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11\)

\( 1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 - 11 = 0\)

\( 5y^2 + 5y - 10 = 0\)  \(/ : 5\)

\( y^2 + y - 2 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) =\)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(y_1 = \frac{-1 + 3}{2\cdot1} = \frac22 = 1\).

\(y_2 = \frac{-1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Если \( y = 1\), то

\(x = 2\cdot1 + 1 = 2 + 1 = 3\).

Если \(y = -2\), то

\(x = 2\cdot(-2) + 1 = -4 + 1 = -3\).

Ответ: \((-3,-2),\ (3,1).\)

б) \( \begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9,\\ 3x + 2y = -1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9,\\ 2y = -3x - 1    / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + x(-1,5x - 0,5) - 3(-1,5x - 0,5) = 9,\\ y = -1,5x - 0,5 \end{cases} \)

\(x^2 + x(-1,5x - 0,5) - 3(-1,5x - 0,5) = 9\)

\(x^2 -1,5x^2 - 0,5x + 4,5x + 1,5 - 9 = 0\)

\(-0,5x^2 + 4x - 7,5 = 0\)     \(/\times (-2)\)

\(x^2 - 8x + 15 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot15 = \)

\(= 64 - 60 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\(x_1 = \frac{8 + 2}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{8 - 2}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

Если \( x = 5 \), то

\(y =-1,5\cdot5 - 0,5 = -7,5 - 0,5 = -8\).

Если \( x = 3 \), то

\(y =-1,5\cdot3 - 0,5 = -4,5 - 0,5 = -5\).

Ответ: \( (3,-5),\ (5,-8).\)

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Для пункта а) после подстановки \(x = 1 + 2y\) получили уравнение \[ y^2 + y - 2 = 0, \] решив которое определили пару значений \(y\), для каждого из которых нашли соответствующие значения \(x\).

Для пункта б) подстановка \[ y = -1,5x - 0,5 \] приводит к квадратному уравнению \[ x^2 - 8x + 15 = 0, \] решив которое определили пару значений \(x\), для каждого из которых нашли соответствующие значения \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).