Упражнение 245 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac12\!\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3\dfrac12\)

Пусть \( x - \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда

\(\left( x - \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)

\( x^{2} - 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\( x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2 \)

\(t^{2} + 2 - \frac12 t = 3\dfrac12\)

\(t^{2} + 2 - \frac12 t = \dfrac72\)  \(/\times 2\)

\( 2t^{2} + 4 - t = 7\)

\( 2t^{2} + 4 - t - 7=0\)

\(2t^{2} - t - 3 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -3\)

\(D= b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^{2} - 4\cdot2\cdot(-3) =\)

\(=1 + 24 = 25>0\) - 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 5\).

\( t_{1} = \frac{1 + 5}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5\).

\( t_{2} = \frac{1 - 5}{2\cdot2} = \frac{-4}{4} = -1\).

1) Если \(t = 1,5\), то

\( x - \frac{1}{x} = 1,5\)   \(/\times 2x\)

\( 2x^2 - 2 = 3x\) 

\(2x^{2} - 3x - 2 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -3\),  \(c = -2\)

\( D =(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2)=\)

\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1} = \frac{3 + 5}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2\).

\(x_{2} = \frac{3 - 5}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} = -\frac12\).

2) Если \(t = -1\), то

\( x - \frac{1}{x} = -1\)   \(/\times x\)

\( x^2 - 1 = -x\) 

\( x^{2} + x - 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -1\)

\( D =1:2 - 4\cdot1\cdot(-1)= \)

\(=1 + 4 = 5 > 0 \)- 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt5\).

\(x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \)

\(x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}. \)

Ответ: \(x = 2,\; -\dfrac12,\)

\(\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2},\; \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}.\)

б) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac13\!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 8\)

Пусть \( x + \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда

\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)

\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} =  t^{2} \)

\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)

\( t^{2} - 2 - \frac13 t = 8\)   \(/\times 3\)

\(3t^{2} - 6 - t = 24\)

\(3t^{2} - 6 - t - 24=0\)

\(3t^{2} - t - 30 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -1\),  \(c = -30\)

\(D= b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^{2} - 4\cdot3\cdot(-30) =\)

\(=1 + 360 = 361>0\) - 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 19\).

\( t_{1} = \frac{1 + 19}{2\cdot3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \).

\( t_{2} = \frac{1 - 19}{2\cdot3} = \frac{-18}{6} = -3 \).

1) Если \(t = \frac{10}{3} \), то

\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \)   \(/\times 3x\)

\(3x^2 +3 = 10x\)

\(3x^2 - 10x + 3 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -10\),  \(c = 3\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3=\)

\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 8\).

\(x_{1} = \frac{10 + 8}{2\cdot3} =\frac{18}{6} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{10 - 8}{2\cdot3} =\frac{2}{6} = \frac13. \)

2) Если \(t = -3\), то

\( x + \frac{1}{x} = -3 \)   \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = -3x\)

\(x^2 + 3x + 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = 1\)

\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot1=\)

\(=9 - 4 = 5 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt 5\).

\(x_{1} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)

\(x_{2} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)

Ответ: \(x = 3,\; \dfrac13,\; \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2},\)

\(\dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях встречаются выражения \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) вместе с \(x \pm \dfrac{1}{x}\). Удобно ввести новую переменную:

- в пункте а): \(t = x - \frac{1}{x} \);

- в пункте б): \(t = x + \frac{1}{x}, \)

тогда квадратные выражения выражаются через неё по формулам:

\( (x - \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \tfrac{1}{x^{2}}, \)

\((x + \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \tfrac{1}{x^{2}}. \)

2. После подстановки получаем обычные квадратные уравнения по новой переменной \(t\). Решаем их через дискриминант, затем для каждого значения новой переменной решаем ещё одно квадратное уравнение относительно \(x\).

3. Условие \(x \ne 0\) важно, чтобы выражения \(\dfrac{1}{x}\) были определены. Все найденные корни удовлетворяют этому условию, поэтому все они входят в ответ.

\( h(t)=24t-4{,}9t^{2} \)

\( h(t)=-4{,}9t^{2} + 24t \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -4,9 < 0\) и наибольшее значение \(h\) в вершине параболы.

\( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2\cdot(-4{,}9)} =\)

\(=\frac{24}{9{,}8} = \frac{240}{98}= \frac{120}{49} = 2\frac{22}{49}.\)

\( h_0 = 24\cdot 2\frac{22}{49}-4{,}9\cdot \left(2\frac{22}{49}\right)^{2} =\)

\(= 24\cdot \frac{120}{49}-\frac{49}{10}\cdot \left(\frac{120}{49}\right)^{2} =\)

\(=\frac{24\cdot120}{49} - \frac{\cancel{49}\cdot120\cdot12\cancel0}{\cancel{10}\cdot49^{\cancel2}} =\)

\(=\frac{24\cdot120}{49} - \frac{120\cdot12}{49} =\)

\(=\frac{24\cdot120 - 120\cdot12}{49}=\)

\(=\frac{120\cdot(24 - 12)}{49}=\)

\(=\frac{120\cdot12}{49}=\frac{1440}{49}=29\frac{19}{49}.\)

\(\left( 2\frac{22}{49}; 29\frac{19}{49}\right)\) - вершина параболы.

\(h=29\frac{19}{49}\) (м) - наибольшая высота мяча.

Нули функции:

\( 24t-4{,}9t^{2}=0 \)

\(t(24-4{,}9t)=0\)

\(t=0\)  или  \(24 - 4,9t = 0\)

                    \(4,9t = 24\)

                    \(t = \frac{24}{4,9}\)

                    \(t = \frac{240}{49}\)

                    \(t = 4\frac{44}{49}\)

\(t= 0\) - момент броска мяча.

\(t = 2\frac{22}{49}\) (с) - время, когда мяч достиг наибольшей высоты.

\(t = 4\frac{44}{49}\) (с) - время после брска, через которое мяч упал на землю.

\(\left[0; 2\frac{22}{49}\right]\) - промежуток времени, в течение которого мяч поднимался.

\(\left[2\frac{22}{49}; 4\frac{44}{49}\right]\) - промежуток времени, в течение которого мяч опускался.

Пояснения:

Зависимость \( h(t)=24t-4{,}9t^{2} \) — это квадратичная функция, значит её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как

\(a = -4,9 < 0\). Поэтому в вершине параболы функция достигает наибольшего значения.

Координата вершины по оси времени для параболы \(h(t)=at^{2}+bt+c\) находится по формуле \[ t_{0}=-\frac{b}{2a}. \] Подставив \(a=-4{,}9\), \(b=24\), получили время, когда мяч достиг наибольшей высоты \(t_0= 2\frac{22}{49}.\)

Значение функции в вершине даёт наибольшую высоту:

\( h_0 = 24t_0-4{,}9t_0^{2} = 29\frac{19}{49}.\)

Время полёта мяча до приземления определяется из уравнения

\(24t-4{,}9t^{2}=0\). Получается квадратное уравнение, корни которого дают моменты, когда мяч на земле: \(t=0\) (момент броска) и \(t= 4\frac{44}{49}\) с (момент падения).

Так как при \(t=0\) высота нулевая, затем она растёт до максимума, а после уменьшается до нуля, то:

— на промежутке \(\left[0; 2\frac{22}{49}\right]\) функция \(h(t)\) возрастает — мяч поднимается;

— на промежутке \(\left[2\frac{22}{49}; 4\frac{44}{49}\right]\) функция убывает — мяч опускается.