Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№240 учебника 2023-2026 (стр. 83):
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) \(y = x^{2} + x - 9\) и \(y = \dfrac{9}{x}\);
б) \(y = x^{2} + 6x - 4\) и \(y = \dfrac{24}{x}\).
№240 учебника 2014-2022 (стр. 72):
Найдите значение \(a\), при котором осью симметрии параболы \(y = ax^{2} - 16x + 1\) является прямая \(x = 4\).
№240 учебника 2023-2026 (стр. 83):
Вспомните:
№240 учебника 2014-2022 (стр. 72):
Вспомните:
№240 учебника 2023-2026 (стр. 83):
а) \(y = x^{2} + x - 9\) и \(y = \dfrac{9}{x}\)
\( x^{2} + x - 9 = \frac{9}{x} \) \(/\times x\)
ОДЗ: \(x \neq 0\).
\(x^{3} + x^{2} - 9x = 9 \)
\( x^{3} + x^{2} - 9x - 9 = 0\)
\(x^2(x+1) - 9(x+1) = 0\)
\((x+1) (x^2 - 9) = 0\)
\((x+1) (x - 3) (x +3) = 0\)
или \(x + 1 =0\)
\(x = -1\)
или \(x - 3 = 0\)
\(x = 3\)
или \(x + 3 = 0\)
\(x = -3\)
Если \( x=-1\), то
\(y = \frac9x= \frac{9}{-1} =-9.\)
Если \( x=3\), то
\(y = \frac9x= \frac{9}{3} =3.\)
Если \( x=-3\), то
\(y = \frac9x= \frac{9}{-3} =-3.\)
Ответ: точки пересечения \((-1,-9),\,(3,3),\,(-3,-3)\).
б) \(y = x^{2} + 6x - 4\) и \(y = \dfrac{24}{x}\)
\( x^{2} + 6x - 4 = \frac{24}{x}\) \(/\times x\)
ОДЗ: \(x\neq 0\).
\( x^{3} + 6x^{2} - 4x = 24\)
\( x^{3} + 6x^{2} - 4x - 24 = 0\)
\(x^2(x+6) -4(x+6) =0\)
\((x+6)(x^2-4) = 0\)
\(x+6)(x-2)(x+2) =0\)
или \(x + 6 =0\)
\(x = -6\)
или \(x - 2 = 0\)
\(x = 2\)
или \(x + 2 = 0\)
\(x = -2\)
Если \( x=-6\), то
\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-6}=-4. \)
Если \( x=2\), то
\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{2}=12. \)
Если \( x=-2\), то
\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-2}=-12. \)
Ответ: точки пересечения \((-6,-4),\,(2,12),\,(-2,-12)\).
Пояснения:
1. Точки пересечения графиков функций находятся решением уравнения, которое получается путём приравнивания правых частей, рассматриваемых функций.
2. Полученное уравнение всегда преобразуется к многочленному: умножаем на \(x\), переносим всё влево и группируем.
3. В обоих примерах многочлены третьей степени раскладываются на множители методом группировки.
4. После нахождения значений \(x\) подставляем их во вторую функцию (удобнее в дробь), чтобы получить координату по оси \(y\).
№240 учебника 2014-2022 (стр. 72):
\(y = ax^{2} - 16x + 1\),
\(x = 4\) - ось симметрии и абсцисса вершины параболы.
\( x = -\frac{b}{2a} \)
\(4 = -\frac{-16}{2a}\)
\(4 = \frac{16}{2a}\) \(/\times 2a\)
\(4\cdot2a=16\)
\(8a = 16\)
\(a = \frac{16}{8}\)
\(a = 2\)
Ответ: при \( a = 2. \)
Пояснения:
Для любой квадратичной функции \[ y = ax^{2} + bx + c, \] ось симметрии проходит через вершину параболы, абсцисса которой: \[ x = -\frac{b}{2a}. \]
В задаче ось симметрии известна: \(x = 4\), значит, и абсцисса вершины параболы также равна \(4\). Подставив её в формулу, и, учитывая то, что \(b = -16\), получаем уравнение, которое позволяет найти значение коэффициента \(a\).
Вернуться к содержанию учебника