Упражнение 248 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первая бригада выполняет всю работу за \(x\) дней. Тогда вторая — за \((x - 12)\) дней. Производительность первой бригады \( \frac{1}{x}\), а второй - \(\frac{1}{x - 12} \) , тогда первая бригада за 5 дней выполнит \(\frac{5}{x}\) работы, а за 9 дней - \(\frac{9}{x}\) работы, вторая бригада за 5 дней выполнит \(\frac{5}{x-12}\) работы. Весь объем примем за единицу.

Составим уравнение:

\(\frac{5}{x} + \frac{5}{x - 12} + \frac{9}{x} = 1\)

\( \frac{14}{x} + \frac{5}{x - 12} = 1\)   \(/\times x(x-12)\)

ОДЗ: \(x \ne 0\)  и  \(x - 12 \ne 0\)

                          \(x \ne 12\)

\(14(x-12) +5x=x(x-12)\)

\(14x - 168 + 5x = x^2 - 12x\)

\(19x - 168 = x^2 - 12x\)

\(x^2 - 12x - 19x + 168 =0\)

\(x^2 -31x + 168 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -31\),  \(c = 168\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=(-31)^{2} - 4\cdot1 \cdot 168 = \)

\(=961 - 672 = 289 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),  \( \sqrt{D} = 17\)

\( x_1 = \frac{31 + 17}{2\cdot1} = \frac{48}{2} = 24\).

\( x_2 = \frac{31 - 17}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\).

1) Если \(x = 7\), то

\(x - 12 = -5\) — невозможно.

2) Если \( x = 24\), то

\(24 - 12 = 12. \)

Ответ: первая бригада выполняет работу за 24 дня, вторая — за 12 дней.

Пояснения:

1. Производительность равна выполненной работе, деленной на время.

2. Производительности складываются при совместной работе.

3. По условию составляем дробное рациональное уравнение. Умножив уравнение на общий знаменатель и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение, из которого выбирается физически возможный корень (положительный, дающий положительное время второй бригады).

а) \(1{,}2^6\) и \(1{,}2^8\)

\(1{,}2>1\)

\(6<8\)

\(1{,}2^6<1{,}2^8\)

Ответ: \(1{,}2^6<1{,}2^8\)

б) \(3{,}4^{11}\) и \(3{,}4^{16}\)

\(3{,}4>1\)

\(11<16\)

\(3{,}4^{11}<3{,}4^{16}\)

Ответ: \(3{,}4^{11}<3{,}4^{16}\)

в) \(0{,}3^2\) и \(0{,}3^4\)

\(0<0{,}3<1\)

\(2<4\)

\(0{,}3^2>0{,}3^4\)

Ответ: \(0{,}3^2>0{,}3^4.\)

г) \((-2{,}1)^4\) и \((-2{,}1)^6\)

\((-2{,}1)^4=2{,}1^4\)

\((-2{,}1)^6=2{,}1^6\)

\(2{,}1>1\)

\(4<6\)

\(2{,}1^4<2{,}1^6\)

\((-2{,}1)^4<(-2{,}1)^6\)

Ответ: \((-2{,}1)^4<(-2{,}1)^6\)

Пояснения:

В этой задаче используется свойство степеней: сравнение степеней зависит от того, какое число стоит в основании степени.

Основные правила:

1. Если \(a>1\), то с увеличением показателя степени значение степени увеличивается:

Если \(m > n\), то \(a^m > a^n\)

2. Если \(0<a<1\), то с увеличением показателя степени значение степени уменьшается:

Если \(m > n\), то \(a^m < a^n\)

3. Если основание отрицательное, то сначала нужно учитывать чётность показателя степени.Свойство чётной степени:

\( x^{2n} \ge 0 \) и \( (-x)^{2n} = x^{2n} \)

Теперь разберём каждый пункт.

а) \(1{,}2^6\) и \(1{,}2^8\)

Основание \(1{,}2\) больше 1. Значит, чем больше показатель степени, тем больше значение.

Так как

\[ 6<8, \]

то

\[ 1{,}2^6<1{,}2^8. \]

б) \(3{,}4^{11}\) и \(3{,}4^{16}\)

Основание \(3{,}4\) тоже больше 1. Поэтому большая степень даёт большее число.

Так как

\[ 11<16, \]

то

\[ 3{,}4^{11}<3{,}4^{16}. \]

в) \(0{,}3^2\) и \(0{,}3^4\)

Основание \(0{,}3\) находится между 0 и 1.

Для таких чисел всё наоборот: чем больше показатель степени, тем меньше результат.

Так как

\[ 2<4, \]

то

\[ 0{,}3^2>0{,}3^4. \]

г) \((-2{,}1)^4\) и \((-2{,}1)^6\)

Обе степени чётные, поэтому оба результата положительные:

\[ (-2{,}1)^4=2{,}1^4, \quad (-2{,}1)^6=2{,}1^6. \]

Теперь сравниваем степени с основанием \(2{,}1\), а оно больше 1.

Так как

\[ 4<6, \]

то

\[ 2{,}1^4<2{,}1^6. \]

Значит,

\[ (-2{,}1)^4<(-2{,}1)^6. \]

Итак, при сравнении степеней нужно сначала посмотреть на основание: больше ли оно 1, находится ли между 0 и 1, или является отрицательным числом.