Вернуться к содержанию учебника
Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найдите эту дробь.
Вспомните:
Пусть числитель исходной дроби равен \(x\). Тогда знаменатель \( x + 6. \) Числитель новой дроби равен \(x - 2\), а знаменатель — \(x + 6 + 2 = x + 8\). Известно, что новая дробь меньше исходной на \(\frac{1}{6}\).
Составим уравнение:
\( \frac{x}{x+6} - \frac{x-2}{x+8} = \frac{1}{6}\) \(/\times 6(x+6)(x+8)\)
ОДЗ: \(x+6\ne0\) и \(x+8\ne0\)
\(x \ne0\) \(x\ne0\)
\( 6x(x+8) - 6(x-2)(x+6) =(x + 6)(x + 8) \)
\(6x^2 +48x - 6(x^2 + 6x -2x -12) = x^2 + 8x + 6x + 48\)
\(\cancel{6x^2} +48x - \cancel{6x^2} - 36x +12x + 72 = x^2 + 14x + 48\)
\(24x + 72 = x^2 + 14x + 48\)
\(x^2 + 14x + 48 - 24x - 72 = 0\)\)
\(x^2 -10x-24 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -24\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-10)^2 - 4 \cdot 1\cdot (-24) =\)
\(=100 + 96 = 196 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 14\).
\(x_{1} = \frac{10 +14}{2\cdot1} = \frac{21}{2} = 12\).
\(x_{2} = \frac{10 - 14}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 12\), то
\( 12 + 6 = 18\)
\(12\) - числитель дроби,
\(18\) - знаменатель дроби.
Ответ: искомая дробь — \(\dfrac{12}{18}.\)
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим переменную и составляем по условию задачи рациональное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. При этом исключаем отрицательный корень, так как у обыкновенной дроби числитель и знаменатель положительны.
Вернуться к содержанию учебника