Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№250 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на \(\frac{1}{6}\). Найдите эту дробь.
№250 учебника 2014-2022 (стр. 73):
Сравните значения степеней:
а) \(2^{10}\) и \(3^{10}\);
б) \(0{,}3^5\) и \(0{,}2^5\);
в) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{17}\) и \(\left(\frac{8}{9}\right)^{17}\);
г) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{10}\) и \(\left(\frac{2}{3}\right)^{20}\);
д) \(3^{21}\) и \(8^7\);
е) \(1250^3\) и \(36^6\).
№250 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Вспомните:
№250 учебника 2014-2022 (стр. 73):
Вспомните:
№250 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Пусть числитель исходной дроби равен \(x\). Тогда знаменатель \( x + 6. \) Числитель новой дроби равен \(x - 2\), а знаменатель — \(x + 6 + 2 = x + 8\). Известно, что новая дробь меньше исходной на \(\frac{1}{6}\).
Составим уравнение:
\( \frac{x}{x+6} - \frac{x-2}{x+8} = \frac{1}{6}\) \(/\times 6(x+6)(x+8)\)
ОДЗ: \(x+6\ne0\) и \(x+8\ne0\)
\(x \ne0\) \(x\ne0\)
\( 6x(x+8) - 6(x-2)(x+6) =(x + 6)(x + 8) \)
\(6x^2 +48x - 6(x^2 + 6x -2x -12) = x^2 + 8x + 6x + 48\)
\(\cancel{6x^2} +48x - \cancel{6x^2} - 36x +12x + 72 = x^2 + 14x + 48\)
\(24x + 72 = x^2 + 14x + 48\)
\(x^2 + 14x + 48 - 24x - 72 = 0\)\)
\(x^2 -10x-24 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -24\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-10)^2 - 4 \cdot 1\cdot (-24) =\)
\(=100 + 96 = 196 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 14\).
\(x_{1} = \frac{10 +14}{2\cdot1} = \frac{21}{2} = 12\).
\(x_{2} = \frac{10 - 14}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 12\), то
\( 12 + 6 = 18\)
\(12\) - числитель дроби,
\(18\) - знаменатель дроби.
Ответ: искомая дробь — \(\dfrac{12}{18}.\)
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим переменную и составляем по условию задачи рациональное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. При этом исключаем отрицательный корень, так как у обыкновенной дроби числитель и знаменатель положительны.
№250 учебника 2014-2022 (стр. 73):
а) \(2 < 3\)
\(2^{10} < 3^{10}\)
б) \(0{,}3 > 0{,}2\)
\(0{,}3^5 > 0{,}2^5\)
в) \(\frac{4}{5}=\frac{36}{45},\frac{8}{9}=\frac{40}{45} \)
\(\frac{4}{5} < \frac{8}{9}\)
\(\left(\frac{4}{5}\right)^{17} < \left(\frac{8}{9}\right)^{17}\)
г) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{10} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{20}=\left(\frac{2}{3}\right)^{20}\)
д) \(3^{21} = (3^3)^7 = 27^7,\)
\(8^7 = 8^7\)
\(27^7 > 8^7⇒3^{21}>8^7\)
е) \(1250^3 =1250^3 \)
\(36^6 = (36^2)^3 =1296^3\)
\(1250<1296⇒1250^3<1296^3\)
\(1250^3 < 36^6\)
Пояснения:
Свойство чётной степени:
\( x^{2n} \ge 0 \) и \( (-x)^{2n} = x^{2n} \)
Функция с четным показателем степени возрастает на промежутке \([0; +\infty )\) и убывает на промежутке \((-\infty; 0] \), поэтому:
- если \(x\in[0; +\infty )\), то при \(x_1 > x_2\) имеем \(f(x_1) > f(x_2)\);
- если \(x\in(-\infty; 0] \), то при \(x_1 > x_2\) имеем \(f(x_1) < f(x_2)\).
Свойство нечётной степени:
\( x^{2n+1} \) сохраняет знак числа \( x \).
Следствие:
Функция с нечетным показателем степени является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому если \( x_1 < x_2 \), то:
\(f(x_1) < f(x_2)\)
Основные правила:
1. Если показатели степеней одинаковые, сравнивают основания:
\[ a^n \; \text{и} \; b^n \Rightarrow \text{сравниваем } a \text{ и } b \]
2. Если основания одинаковые, сравнивают показатели:
\[ a^m \; \text{и} \; a^n \Rightarrow \text{сравниваем } m \text{ и } n \]
3. Свойство степеней:
\[ (a^m)^n = a^{mn} \]
4. Разложение числа на множители:
\[ a = b \cdot c \Rightarrow a^n = b^n \cdot c^n \]
Вернуться к содержанию учебника