Упражнение 243 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^{2}+16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^{2}=17;\)

Пусть \(t=\frac{x+2}{x-4}\), тогда \(\frac{x-4}{x+2}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+16\cdot\frac{1}{t^{2}}=17\)    \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\)

\[t^{4}-17t^{2}+16=0\]

Пусть \(t^{2}=y\).

\[y^{2}-17y+16=0\]

\(a = 1\),  \(b = -17\),  \(c = 16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^{2}-4\cdot1\cdot16=\)

\( = 289 - 64=225>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=15.\)

\(y_{1}=\dfrac{17+15}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16.\)

\(y_{2}=\dfrac{17-15}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1.\)

Если \(y = 16\), то \(t^{2}=16, \Rightarrow t=\pm4\)

Если \(y = 1\), то \(t^{2}=1, \Rightarrow t=\pm1\)

1) Если \(t = 4\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=4(x - 4)\)

\(x+2=4x-16\)

\(x - 4x = -16 - 2\)

\(-3x=-18\)

\(x = \frac{-18}{-3}\)

\(x=6.\)

2) Если \(t = -4\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-4(x-4)\)

\(x+2=-4x+16\)

\(x + 4x = 16 - 2\)

\(5x=14\)

\(x=\dfrac{14}{5}\)

\(x = 2,8.\)

3) Если \(t = 1\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x + 2 = x - 4\)

\(x - x = -4 - 2\)

\(2=-4\) — неверно, корней нет.

4) \(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-x+4\)

\(x + x = 4 - 2\)

\(2x=2\)

\(x = \frac22\)

\(x=1.\)

Ответ: \(x=6,\;x=2,8,\;x=1.\)

б) \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^{2}+18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{2}=11\)

Пусть \(t=\frac{x+1}{x-3},\) тогда \(\frac{x-3}{x+1}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+18\cdot\frac{1}{t^{2}}=11\)     \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\).

\[t^{4}-11t^{2}+18=0.\]

Пусть \(t^{2} = y\). Тогда

\(y^{2}-11y+18=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 18\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=11^{2}-4\cdot1\cdot18=\)

\( =121 - 72=49>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=7.\)

\(y_{1}=\dfrac{11+7}{2\cdot1}=\frac{18}{2} = 9.\)

\(y_{2}=\dfrac{11-7}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2.\)

Если \(y = 9\), то \(t^{2}=9,\Rightarrow t=\pm3\)

Если \(y = 2\), то \(t^{2}=2\Rightarrow t=\pm\sqrt2.\)

1) Если \(t = 3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = 3(x-3)\)

\(x+1=3x-9\)

\(x - 3x = -9 - 1\)

\(-2x=-10\)

\(x = \frac{-10}{-2}\)

\(x=5.\)

2) Если \(t = -3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = -3(x - 3)\)

\(x+1=-3x+9\)

\(x + 3x = 9 - 1\)

\(4x=8\)

\(x = \frac84\)

\(x=2.\)

3) Если \(t = \sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=\sqrt2(x-3)\)

\(x+1=\sqrt2x-3\sqrt2\)

\(x-\sqrt2x=-3\sqrt2-1,\)

\(x(1-\sqrt2)=-3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-1}{1-\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1+\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(-3\sqrt2-1)(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-(\sqrt2)^2}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-2}\)

\(x=\dfrac{-4\sqrt2-7}{-1}\)

\(x=7+4\sqrt2.\)

4) Если \(t = -\sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=-\sqrt2(x-3)\)

\(x + 1 = -\sqrt2x + 3\sqrt2\)

\(x+\sqrt2x=3\sqrt2-1\)

\(x(1+\sqrt2)=3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-1}{1+\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1-\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(3\sqrt2-1)(1-\sqrt2)}{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)} \)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1+\sqrt2}{1-2} \)

\(x=\dfrac{4\sqrt2-7}{-1} \)

\(x=7-4\sqrt2.\)

Ответ: \(x=5,\;x=2,\)

\(x=7+4\sqrt2,\;x=7-4\sqrt2.\)

---

Пояснения:

1. В обоих уравнениях встречаются пары дробей вида \(\dfrac{x+a}{x+b}\) и \(\dfrac{x+b}{x+a}\), которые являются взаимно обратными. Поэтому удобно ввести новую переменную: \[ t=\frac{x+2}{x-4} \text{ или } t=\frac{x+1}{x-3}. \] Тогда вторая дробь превращается в \(\dfrac{1}{t}\), и уравнение содержит только \(t\) и \(\dfrac{1}{t}\). При этом не забываем об ОДЗ: знаменатели исходных дробей не должны равняться нулю.

2. После подстановки получаем уравнения вида \[ t^{2}+k\cdot\frac{1}{t^{2}}=m, \] которые сводим к биквадратным: \[ t^{4}-mt^{2}+k=0. \] Далее вводится замена \(y=t^{2}\) и через дискриминант решается обычное квадратное уравнение.

3. Для каждого найденного значения \(t\) решаем линейное дробно-рациональное уравнение относительно \(x\).

4. Все допустимые значения \(x\), полученные после обратной подстановки, и образуют множества корней уравнений в пунктах а) и б).

а) \(y = x^{2} + 2x - 15\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1\).

\(y_0 = (-1)^ 2 + 2\cdot(-1) - 15 = -16\).

\((-1; -16)\) - вершина параболы.

\(x = -1\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\(x^{2} + 2x - 15= 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -15\)

\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-15) = \)

\(=4 + 60 = 64\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 8\).

\(x_1 = \frac{-2 + 8}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{-2 - 8}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

4. \((0; -15)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(1\)	\(-3\)	\(2\)	\(-4\)
\(y\)	\(-12\)	\(-12\)	\(-7\)	\(-7\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = [-16; +\infty)\).

3. \(y = 0\) при \(x = -5\) и \(x = 3\).

4. \(y > 0\) при

\(x \in (-\infty; - 5) \cup (3; +\infty )\),

\(y < 0\) при \(x \in (-5; 3)\).

5. Функция убывает на \((-\infty;-1]\) и возрастает на \([-1; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наим.}} = -16\) при \(x = -1\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) \(y = 0{,}5x^{2} - 3x + 4\)

1. \(a = 0,5 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2\cdot0,5} =\frac31 = 3\).

\(y_0 = 0,5\cdot3^ 2 - 3\cdot3 + 4 = -0,5\).

\((3; -0,5)\) - вершина параболы.

\(x = 3\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\(0{,}5x^{2} - 3x + 4 = 0\)   \(/\times2\)

\(x^{2} - 6x + 8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)

\(=36 - 32 = 4\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 2\).

\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

4. \((0; 4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(1\)	\(5\)
\(y\)	\(1,5\)	\(1,5\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = [-0,5; +\infty)\).

3. \(y = 0\) при \(x = 2\) и \(x = 4\).

4. \(y > 0\) при

\(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty )\),

\(y < 0\) при \(x \in (2; 4)\).

5. Функция убывает на \((-\infty; 3]\) и возрастает на \([3; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наим.}} = -0,5\) при \(x = 3\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

в) \(y = 4 - 0{,}5x^{2}\)

\(y = -0{,}5x^{2} + 4\)

1. \(a = -0,5 < 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2\cdot(-0,5)} = 0\).

\(y_0 = -0,5\cdot 0^2 + 4 = 4\).

\((0; 4)\) - вершина параболы.

\(x = 0\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\(-0,5x^{2} + 4= 0\)

\(-0,5x^2 = -4\)

\(x^2 = \frac{-4}{-0,5} \)

\(x^2 = \frac{40}{5}\)

\(x^2 = 8\)

\(x = \pm \sqrt8\)

\(x \approx \pm2,8\)

4. \((0; 4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(2\)	\(-2\)
\(y\)	\(2\)	\(2\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 4]\).

3. \(y = 0\) при \(x \approx -2,8\) и \(x \approx 2,8\).

4. \(y > 0\) при \(x \in (-2,8; 2,8)\),

\(y < 0\) при

\(x \in (-\infty; -2,8) \cup (2,8; +\infty )\).

5. Функция возрастает на \((-\infty; 0]\) и убывает на \([0; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наиб.}} = 4\) при \(x = 0\).

7. Функция является четной.

г) \(y = 6x - 2x^{2}\)

\(y = -2x^{2} + 6x\)

1. \(a = -2 < 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot(-2)}=\)

\(=-\frac{6}{-4} = 1,5\).

\(y_0 = -2\cdot(-1,5)^ 2 + 6\cdot1,5 =\)

\(=-4,5+9 = 4,5\).

\((1,5; 4,5)\) - вершина параболы.

\(x = 1,5\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\(6x - 2x^{2} = 0\)

\(2x(3 - x) = 0\)

\(2x = 0\)  или  \(3 - x = 0\)

\(x = 0\)            \(x = 3\)

4. \((0; 0)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(4\)	\(4\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 4,5]\).

3. \(y = 0\) при \(x = 0\) и \(x = 3\).

4. \(y > 0\) при \(x \in (0; 3)\),

\(y < 0\) при

\(x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty )\).

5. Функция возрастает на \((-\infty; 1,5]\) и убывает на \([1,5; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наиб.}} = 4,5\) при \(x = 1,5\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

д) \(y = (2x - 7)(x + 1)\)

\(y= 2x^2 + 2x  - 7x -7\)

\( y = 2x^{2} -5x -7\)

1. \(a = 2 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2\cdot2} =\frac54= 1,25\).

\(y_0 = (2\cdot1,25 - 7)(1,25 + 1)=\)

\( = (2,5 - 7)\cdot2,25 = \)

\(=-4,5\cdot2,25 = -10,125.\)

	×		2	2	5
				4	5
+		1	1	2	5
		9	0	0
	1	0	1	2	5

\((1,25; -10,125)\) - вершина параболы.

\(x = 1,25\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\((2x - 7)(x + 1) = 0\)

\(2x - 7 = 0\)  или  \(x + 1 = 0\)

\(2x = 7\)                  \(x = -1\)

\(x = \frac72\)

\(x = 3,5\)

4. \((0; -7)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(3\)	\(-0,5\)
\(y\)	\(-4\)	\(-4\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = [-10,125; +\infty)\).

3. \(y = 0\) при \(x = -1\) и \(x = 3,5\).

4. \(y > 0\) при

\(x \in (-\infty; - 1) \cup (3,5; +\infty )\),

\(y < 0\) при \(x \in (-1; 3,5)\).

5. Функция убывает на \((-\infty;1,25]\) и возрастает на \([1,25; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наим.}} = -10,125\) при \(x = 1,25\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

е) \(y = (2 - x)(x + 6)\).

\(y = 2x + 12 -x^2 - 6x\)

\(y = -x^2 - 4x + 12\)

1. \(a = -1 < 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot(-1)} = -2\).

\(y_0 = (2 - (-2))(-2 + 6) =\)

\(=4\cdot4 = 16\).

\((-2; 16)\) - вершина параболы.

\(x = -2\) - ось симметрии.

3. Нули функции:

\((2 - x)(x + 6) = 0\)

\(2 - x = 0\)  или  \(x + 6 = 0\)

\(x = 2\)                 \(x = -6\)

4. \((0; 12)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5. Дополнительные точки:

\(x\)	\(-1\)	\(-3\)	\(1\)	\(-5\)
\(y\)	\(15\)	\(15\)	\(7\)	\(7\)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 16]\).

3. \(y = 0\) при \(x = -6\) и \(x = 2\).

4. \(y > 0\) при \(x \in (-6; 2)\),

\(y < 0\) при

\(x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty )\).

5. Функция возрастает на \((-\infty; -2]\) и убывает на \([-2; + \infty)\).

6. \(y_{\text{наиб.}} = 16\) при \(x = -2\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

---

Пояснения:

Графиком квадратичной функции 

\(y = ax^2 + bx + c\) является парабола.

Алгоритм построения квадратичной функции:

1. Определить направление ветвей:

если \(a > 0\), то ветви параболы направлены вверх,

если \(a < 0\), то ветви параболы направлены низ.

2. Определить координаты вершины параболы \(x_0; y_0\):

\(x_0 = -\frac{b}{2a}\),

\(y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c\).

3. Найти нули функции, то есть определить значения \(x\), при которых \(y = 0\) (точки пересечения с осью \(x\)).

4. Определить точку пересечения с осью \(y\): \((0; c)\) и на чертеже определить симметричную ей точку относительно оси симметрии параболы.

5. Если точек недостаточно для построения графика, то определить еще несколько точек графика, составив таблицу. Точку берут парами, определяют одно точку и по чертежу определяют ей симметричную относительно оси симметрии параболы.

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.