Линейное уравнение с одной переменной

Нам известно, что решить уравнение - значит найти все его корни или показать, что их нет вообще. Также нам известно, что при решении уравнений используют следующие свойства:

1. корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак;
2. корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Примеры линейных уравнений с одной переменной:

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение .

1) Если в линейном уравнении коэффициент , то разделив обе части этого уравнения на , получим . Значит, линейное уравнение , в котором , имеет единственный корень, равный .

2) Если в линейном уравнении коэффициент и , то получим уравнение . Значит, линейное уравнение , в котором и , имеет бесконечного много корней, т.е. его корнем является любое число (т.к. при умножении любого числа на ноль всегда получится ноль).

3) Если в линейном уравнении коэффициент и , то при любом значении получим неверное равенство . Значит, линейное уравнение , в котором и , не имеет корней.

Вывод:

Значения и	Корни уравнения
и	- любое число
и	корней нет

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример:

.

Раскроем скобки:

.

Перенесем слагаемое в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки:

.

Приведем подобные слагаемые:

.

Разделим обе части уравнения на 3:

.

При решении исходного уравнения мы применяли свойства уравнений и выполняли тождественные преобразования, последовательно заменяя одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения является число 11.

В рассматриваемом примере исходное уравнение свелось к равносильному линейному уравнению , в котором коэффициент при переменной отличен от нуля ( = 3).

Если при решении уравнения равносильное ему линейное уравнение получится вида , то исходное уравнение имеет бесконечно много корней.

Если при решении уравнения равносильное ему линейное уравнение получится вида , то исходное уравнение не имеет корней.