Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№249 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Одно число на 6 больше другого. Если большее число разделить на меньшее и к частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Найдите эти числа.
№249 учебника 2014-2022 (стр. 73):
Объясните, почему верно неравенство:
а) \(5^{100} > 4^{100}\);
б) \(0{,}87^{100} < 0{,}89^{100}\);
в) \(1{,}5^{261} < 1{,}6^{261}\);
г) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{261} > \left(\dfrac{3}{5}\right)^{261}\).
№249 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Вспомните:
№249 учебника 2014-2022 (стр. 73):
Вспомните:
№249 учебника 2023-2026 (стр. 86):
Пусть меньшее число равно \(x\), тогда большее число равно \(x + 6\).
Составим уравнение:
\( \frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4\) \(/\times x(x+6)\)
ОДЗ: \(x \ne0\) и \(x + 6 \ne 0\)
\(x \ne -6\)
\( (x+6)(x+6) + 4x\cdot x = 4x(x+6)\)
\( (x+6)^2 + 4x^2 = 4x^2+24x\)
\(x^{2} + 12x + 36 + \cancel{4x^{2}} - \cancel{4x^{2}} - 24x=0 \)
\( x^{2} - 12x + 36 = 0\)
\((x -6)^2 = 0\)
\( x - 6 = 0 \)
\(x = 6\)
1) \(6\) - меньшее число.
2) \( 6 + 6 = 12\) - большее число.
Ответ: числа \(6\) и \(12\).
Пояснения:
1. Обозначаем неизвестные числа переменной: меньшее число \(x\), большее \(x + 6\), потому что по условию одно число на 6 больше другого.
2. Переводим словесное условие в уравнение:
«большее поделить на меньшее» — это \(\dfrac{x+6}{x}\);
«увеличенное в 4 раза меньшее поделить на большее» — это \(\dfrac{4x}{x+6}\);
сумма этих двух дробей равна 4, значит получаем уравнение \[ \frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4. \]
3. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на общий знаменатель \(x(x+6)\). Так получаем квадратное уравнение, которое решаем обычным способом. Оно оказалось полным квадратом: \[ x^{2} - 12x + 36 = (x-6)^{2}, \] поэтому есть единственный корень \(x=6\).
4. Значит, меньшим числом является 6, а большим — число 12.
№249 учебника 2014-2022 (стр. 73):
а) \(5^{100}>4^{100}\), так как \(5>4,\) \(100=100.\)
б)\(0{,}87^{100}<0{,}89^{100}\), так как \(0{,}87<0{,}89,\) \(100=100.\)
в) \(1{,}5^{261}<1{,}6^{261}\), так как \(1{,}5<1{,}6,\) \(261=261.\)
г) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{261}>\left(\dfrac{3}{5}\right)^{261},\) так как \(261=261\),
\(\dfrac{2}{3} =\frac{10}{15},\)
\(\dfrac{3}{5}=\frac{9}{15}\)
\(⇒\dfrac{2}{3}>\dfrac{3}{5}\)
Пояснения:
В этой задаче используется свойство степеней с одинаковыми показателями.
Главное правило:
\[ \text{Если } a>b>0, \text{ то } a^n>b^n \]
То есть если основания положительные и одно больше другого, то и их степени с одинаковым показателем сохраняют это неравенство.
Рассмотрим каждый пункт.
а) \(5^{100} > 4^{100}\)
Основания: \(5>4\), оба числа положительные. Значит при возведении в одинаковую степень неравенство сохраняется:
\[ 5^{100}>4^{100} \]
б) \(0{,}87^{100} < 0{,}89^{100}\)
Основания находятся между 0 и 1, но правило всё равно работает: большее число даёт большую степень.
\[ 0{,}87<0{,}89 \Rightarrow 0{,}87^{100}<0{,}89^{100} \]
в) \(1{,}5^{261} < 1{,}6^{261}\)
\[ 1{,}5<1{,}6 \]
Оба числа больше 1, значит степень с большим основанием больше:
\[ 1{,}5^{261}<1{,}6^{261} \]
г) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{261} > \left(\dfrac{3}{5}\right)^{261}\)
Сравним дроби:
\(\dfrac{2}{3} =\frac{10}{15},\)
\(\dfrac{3}{5}=\frac{9}{15}\)
\[ \frac{2}{3}>\frac{3}{5} \]
Обе дроби положительные, значит:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{261}>\left(\frac{3}{5}\right)^{261} \]
Итак, при одинаковых показателях степени сравнение сводится к сравнению оснований.
Вернуться к содержанию учебника