Вернуться к содержанию учебника
Одно число на 6 больше другого. Если большее число разделить на меньшее и к частному прибавить результат от деления увеличенного в 4 раза меньшего числа на большее, то получится 4. Найдите эти числа.
Вспомните:
Пусть меньшее число равно \(x\), тогда большее число равно \(x + 6\).
Составим уравнение:
\( \frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4\) \(/\times x(x+6)\)
ОДЗ: \(x \ne0\) и \(x + 6 \ne 0\)
\(x \ne -6\)
\( (x+6)(x+6) + 4x\cdot x = 4x(x+6)\)
\( (x+6)^2 + 4x^2 = 4x^2+24x\)
\(x^{2} + 12x + 36 + \cancel{4x^{2}} - \cancel{4x^{2}} - 24x=0 \)
\( x^{2} - 12x + 36 = 0\)
\((x -6)^2 = 0\)
\( x - 6 = 0 \)
\(x = 6\)
1) \(6\) - меньшее число.
2) \( 6 + 6 = 12\) - большее число.
Ответ: числа \(6\) и \(12\).
Пояснения:
1. Обозначаем неизвестные числа переменной: меньшее число \(x\), большее \(x + 6\), потому что по условию одно число на 6 больше другого.
2. Переводим словесное условие в уравнение:
«большее поделить на меньшее» — это \(\dfrac{x+6}{x}\);
«увеличенное в 4 раза меньшее поделить на большее» — это \(\dfrac{4x}{x+6}\);
сумма этих двух дробей равна 4, значит получаем уравнение \[ \frac{x+6}{x} + \frac{4x}{x+6} = 4. \]
3. Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на общий знаменатель \(x(x+6)\). Так получаем квадратное уравнение, которое решаем обычным способом. Оно оказалось полным квадратом: \[ x^{2} - 12x + 36 = (x-6)^{2}, \] поэтому есть единственный корень \(x=6\).
4. Значит, меньшим числом является 6, а большим — число 12.
Вернуться к содержанию учебника