Числовые промежутки

Числовой промежуток - это часть числовой прямой, ограниченная с одной или с двух сторон.

Название	Изображение на координатной прямой	Обозначение	Запись на языке алгебры (неравенство)
Отрезок		\([a; b]\)	\(a \le x \le b\)
Интервал		\((a; b)\)	\(a < x < b\)
Полуинтервал		\([a; b)\)   \((a; b]\)	\(a \le x < b\)   \(a < x \le b\)
Замкнутый луч		\([a; +\infty)\)   \((-\infty; b]\)	\(x \ge a\)   \(x \le b\)
Открытый луч		\((a; +\infty)\)   \((-\infty; b)\)	\(x > a\)   \(x < b\)

Из таблицы видим, что в случае, если граничная точка входит в числовой промежуток (неравенство нестрогое), ставится квадратная скобка, в противном случае (неравенство строгое) - круглая. Круглая скобка ставится и при использовании знаков \(+\infty\) и \(-\infty\) (читается "минус бесконечность" и "плюс бесконечность").

Множество всех действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают: \((-\infty; +\infty)\).

Пересечение (\(\cap\)) и объединение (\(\cup\)) промежутков

1) Найдем пересечение и объединение промежутков \([-7; 1]\) и \([-3; 5]\).

Пересечение:

\([-7; 1] \cap [-3; 5] = [-3; 1]\).

Объединение:

\([-7; 1] \cup [-3; 5] = [-7; 5]\).

2) Найдем пересечение и объединение промежутков \((-\infty; 6)\) и \((-\infty; 10)\).

Пересечение:

\((-\infty; 6) \cap (-\infty; 10) = (-\infty; 6)\).

Объединение:

\((-\infty; 6) \cup (-\infty; 10) = (-\infty; 10)\).

Объединение числовых промежутков не всегда представляет собой числовой промежуток. Например, рассмотрим промежутки \((-1; 2]\) и \((7; +\infty)\), найдем их пересечение и объединение.

Пересечение:

\((-1; 2] \cap (7; +\infty) = \cancel\bigcirc\) - пустое множество.

Объединение:

\((-1; 2] \cap (7; +\infty) \).