Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(a\):
а) равны значения выражений \(\dfrac{5a+7-28a^{2}}{20a}\) и \(a^{2}\);
б) являются противоположными числами значения выражений \(\dfrac{2-18a^{2}-a}{3a}\) и \(3a^{2}\)?
Вспомните:
а) \( \frac{5a + 7 - 28a^{2}}{20a} = a^{2}\) \(/\times20a\)
ОДЗ: \(a \neq 0\).
\( 5a + 7 - 28a^{2} = 20a^{3}\)
\( 20a^{3} + 28a^{2} - 5a - 7 = 0\)
\( 4a^{2}(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0\)
\( (5a+7)(4a^{2}-1)=0\)
\((5a+7)(2a-1)(2a+1)=0. \)
или \( 5a+7=0\)
\(5a = -7\)
\(a=-\frac{7}{5} = -1,4\)
или \( 2a-1=0 \)
\(2a = 1\)
\(a=\frac{1}{2} = 0,5, \)
или \( 2a+1=0 \)
\(2a = -1\)
\(a=-\frac{1}{2} = -0,5. \)
Ответ: \(a=-1,4,\; a=0,5,\)
\(a=-0,5.\)
б) \( \frac{2-18a^{2}-a}{3a} = -3a^{2}\) \(/\times3a\)
ОДЗ: \(a \neq 0\).
\[ 2 - 18a^{2} - a = -9a^{3}. \]
\[ 9a^{3} - 18a^{2} - a + 2 = 0. \]
\[ 9a^{2}(a - 2) - 1(a - 2)=0, \] \[ (a-2)(9a^{2}-1)=0. \]
\[ (a-2)(3a-1)(3a+1)=0. \]
или \( a-2=0 \)
\(a=2, \)
или \( 3a-1=0 \)
\(3a = 1\)
\(a=\frac{1}{3}, \)
или \( 3a+1=0 \)
\(3a = -1\)
\(a=-\frac{1}{3}. \)
Ответ: \(a=2,\; a=\dfrac13,\; a=-\dfrac13.\)
Пояснения:
1. В пункте (а) мы приравниваем два выражения. После умножения на знаменатель получается кубическое уравнение, которое решается методом разложения на множители способом группировки. Каждый множитель приравнивается нулю.
2. В пункте (б) фраза «являются противоположными числами» означает: одно равно минусу другого, то есть \[ A = -B. \] Далее решение аналогично пункту а): умножение на знаменатель, группировка и разложение на множители.
3. Обязательно указываем ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль (поэтому \(a \neq 0\)).
Вернуться к содержанию учебника