Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Примеры:

1) Уравнения и равносильные, так как каждое из них имеет два корня 3 и 3.

2) Уравнения и равносильные, так как каждое из них не имеет корней.

3) Уравнения и не являются равносильными, так как первое уравнение имеет один корень = 2, а второе уравнение имеет два корня = 0 и = 2.

Преобразования данного уравнения с помощью которых можно получить уравнение, ему равносильное:

1) если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример: - рациональное уравнение.

Запомните, уравнение вида  , то есть линейное уравнение с одной переменной, является рациональным, так как любое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем, равным единице.

Рассмотрим рациональное уравнение вида , где А и В - многочлены.

Нам уже известно, что дробь равна нулю только в том случае, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, чтобы решить уравнение вида , нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: и . Тогда при решении уравнения указанного вида следует использовать такой алгоритмом:

Получается, решение уравнения вида равносильно системе:

Примеры:

1) Решите уравнение .

Решение данного уравнения равносильно системе:

Из первого уравнения системы мы получаем = 4.

Во втором уравнении системы сначала в левой его части применяем формулу разности квадратов двух уравнений. Тогда рассматриваемую систему можно записать так:

Далее во втором уравнении системы учитываем то, что произведение не равно нулю, когда ни один из множителей этого произведения не равен нулю. Тогда система примет следующий вид:

Из уравнения получаем , а из уравнения получаем . Тогда систему можем записать так:

Получается, корень = 2, при котором числитель равен нулю, не может быть корнем рассматриваемого уравнения, так как в таком случае знаменатель обращается в ноль, чего не может быть, следовательно, данное уравнение не имеет корней.

2) Решите уравнение .

Сначала в числителе дроби, стоящей в левой части рассматриваемого уравнения, вынесем за скобки общий множитель 2, получим:

Далее учитывая то, что знаменатель дроби при любом , т.к. при любом значении можем сократить дробь, стоящую в левой части уравнения, на общий множитель , получим:

Мы получили, что рассматриваемое уравнение является тождеством, следовательно, корнем этого уравнения может быть любое число, то есть - любое число.

3) Решите уравнение .

Перенесем выражение, стоящее в правой части данного уравнения в левую часть, изменив при этом его знак, получим:

Далее представим левую часть этого уравнения в виде рациональной дроби. Для этого выполним сложение дробей.

Общим знаменателем складываемых дробей может быть выражение . Тогда первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель , а вторую - на дополнительный множитель , получим:

Откуда по правилу сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями имеем:

Теперь, используя распределительное свойство умножения, в числителе полученного дробного выражения раскрываем скобки, получаем:

Далее в числителе полученного дробного выражения приводим подобные слагаемые (выделены одинаковым цветом), имеем:

Решение данного уравнения равносильно системе:

Из первого уравнения системы получаем . А во втором уравнении системы учитываем то, что произведение не равно нулю, когда ни один из множителей этого произведения не равен нулю. Тогда система примет следующий вид:

Из уравнения получаем . Из уравнения получаем . Из уравнения получаем . Тогда систему можно записать так:

Получается, корень , при котором числитель равен нулю, является корнем рассматриваемого уравнения, так как в таком случае знаменатель не обращается в ноль (корни числителя и знаменателя не совпадают).