Упражнение 246 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 84

а) \(\dfrac{12 - 5x - 2x^{2}}{15 - 10x}\)

\( 12 - 5x - 2x^{2} =0\)

\(-2x^{2} - 5x + 12 =0\)   \(/\times (-1)\)

\(2x^{2} + 5x - 12 =0\)

\(a = 2\),  \(b = 5\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=5^2 - 4\cdot2\cdot(-12)=\)

\(=25 + 96 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 11\).

\(x_{1} = \frac{-5 + 11}{2\cdot2}=\frac{6}{4} = \frac32 = 1,5.\)

\(x_{2} = \frac{-5 - 11}{2\cdot2}=\frac{-16}{4} = -4.\)

\(-2x^{2} - 5x + 12 =\)

\(=-2(x - 1,5)(x + 4)=\)

\(=-(2x - 3)(x+4)\).

\(\dfrac{12 - 5x - 2x^{2}}{15 - 10x} = \frac{-\cancel{(2x - 3)}(x + 4)}{-5\cancel{(2x - 3)}}=\)

\( = \frac{x + 4}{5}. \)

Ответ: \(\dfrac{x + 4}{5}\).

б) \(\dfrac{3x^{2} - 36x - 192}{x^{2} - 256}\)

\( 3x^{2} - 36x - 192 =0\)    \(/ : 3\)

\(x^{2} - 12x - 64 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = -64\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot(-64)=\)

\(=144 + 256 = 400 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 20\).

\(x_{1} = \frac{12 + 20}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16.\)

\(x_{2} = \frac{12 - 20}{2\cdot1}=\frac{-8}{2} = -4.\)

\( 3x^{2} - 36x - 192 = 3(x - 16)(x + 4). \)

\(\dfrac{3x^{2} - 36x - 192}{x^{2} - 256}=\)

\(=\dfrac{3\cancel{(x - 16)}(x + 4)}{\cancel{(x - 16)}(x + 16)}=\)

\(=\dfrac{3(x + 4)}{(x + 16)} =\dfrac{3x + 12}{(x + 16)} \)

Ответ: \(\dfrac{3(x + 4)}{x + 16}\).

Пояснения:

1. Для сокращения дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Это выполняется с помощью вынесения общего множителя или разложения квадратных трёхчленов дискриминант на множители по формуле:

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

2. После разложения в каждом примере появляется общий множитель, который можно сократить, поскольку мы работаем с рациональными выражениями (при условии, что этот множитель не обращается в ноль).