Упражнение 244 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - искомое число (\(x>0\)). Тогда обратное ему число равно \(\dfrac{1}{x}\). Известно, что сумма этих чисел в 13 раз меньше суммы их кубов.

Составим уравнение:

\( 13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}\)

Пусть \( x + \frac{1}{x}=t > 0 \), так как \(x > 0,\) тогда

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^3=t^3 \)

\( x^3+3x^{\cancel2}\cdot\frac{1}{\cancel x} + 3 \cancel x\cdot\frac{1}{x^{\cancel2}} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3x + 3\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3(x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3t + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t. \)

\( 13t = t^{3} - 3t\)

\( t^{3} - 3t - 13t = 0\)

\(t^{3} - 16t = 0\)

\( t(t^{2} - 16) = 0\)

\( t(t- 4)(t + 4) = 0\)

или \( t = 0\) - не удовлетворяет условию,

или \(t - 4 = 0\)

       \(t = 4,\)

или \(t + 4 = 0\)

       \(t = -4\) - не удовлетворяет условию.

Если (t = 4\), то

\( x + \frac{1}{x} = 4\)   \(/\times x\):

\( x^{2} + 1 = 4x \)

\(x^{2} - 4x + 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 1\)

\( D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(=16 - 4 = 12 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt3.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\) 

\(= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(2 \pm \sqrt{3})}{\cancel2} = 2 \pm \sqrt{3}. \)

\( 2 + \sqrt{3} > 0,\)

\(2 - \sqrt{3} > 0. \)

Ответ: \( x = 2 + \sqrt{3}\) и \(x = 2 - \sqrt{3}. \)

Пояснения:

1. Мы сравниваем два выражения:

— сумму числа и числа, ему обратного: \(\;x + \dfrac{1}{x}\);

— сумму кубов этих чисел: \(\;x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\).

Условие «сумма в 13 раз меньше» переводится в равенство:

\(13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}. \)

2. Чтобы упростить уравнение, введена новая переменная \[ t = x + \frac{1}{x}. \] Тогда имеем формулу \[ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t, \] которая получается возведением в куб равенства \(t = x + \dfrac{1}{x}\) и приведением подобных членов.

3. После подстановки получаем уравнение \(t^{3} - 16t = 0\), которое раскладывается на множители вынесением общего множителя за скобки применением формулы разности квадратов: \[ t(t - 4)(t+4) = 0. \] Отсюда \(t = 0, 4, -4\). Анализируя смысл \(t = x + \dfrac{1}{x}\) при \(x > 0\) (эта сумма всегда положительна и не равна нулю), оставляем только \(t = 4\).

4. Возвращаясь к \(x\), решаем уравнение

\[ x + \frac{1}{x} = 4 \).

Домножив это уравнение на \(x\), получаем квадратное уравнение:

\[x^{2} - 4x + 1 = 0. \]

Решив уравнение через дискриминант получаем два положительных корня \(2 \pm \sqrt{3}\). Оба удовлетворяют и исходному равенству, и требованию «положительное число», поэтому в ответе записываем оба значения.

а) \(y = 3x^{2} - 0{,}5x + \dfrac{1}{16}\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\), и наименьшее значение функции в ее вершине.

\(a=3\), \(b=-0,5\), \(c=\dfrac{1}{16}\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0,5}{2\cdot3}=\frac{0,5}{6} =\)

\(=\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\).

\(y_0 = 3\cdot \left(\frac{1}{12}\right)^{2} - 0{,}5\cdot\left(\frac{1}{12}\right) + \dfrac{1}{16}=\)

\(= ^{\color{blue}{1}} \cancel3\cdot\frac{1}{\cancel{144}_{{\color{blue}{48}}}}-\frac{1}{24} + \frac{1}{16} =\)

\(=\frac{1}{48} - \frac{1}{24} ^{\color{red}{\backslash2}} + \frac{1}{16} ^{\color{red}{\backslash3}} =\)

\(=\frac{1}{48} - \frac{2}{48} + \frac{3}{48} =\frac{2}{48} = \frac{1}{24}\).

\(\left(\frac{1}{24}; \frac{1}{24}\right)\) - вершина параболы.

\(E(y) = \left[\frac{1}{24}; +\infty \right)\).

Ответ: \(E(y) = \left[\frac{1}{24}; +\infty \right)\).

б) \(y = 2x^{2} + 1{,}2x + 2 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\), и наименьшее значение функции в ее вершине.

\(a=2\), \(b=1,2\), \(c=2\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2\cdot2}=\)

\(=-\frac{1,2}{4} = -0,3\)

\(y_0 = 2\cdot(-0,3)^{2} + 1{,}2\cdot(-0,3) + 2= \)

\( = 2\cdot0,09 - 0,36 + 2 = \)

\(= 0,18 - 0,36 + 2 =\)

\(=-0,18 + 2 = 1,82.\)

\((-0,3; 1,82)\) - вершина параболы.

\(E(y) = [1,82; +\infty )\).

Ответ: \(E(y) = [1,82; +\infty )\).

в) \(y = -\dfrac12 x^{2} + 4x - 5{,}5\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -\dfrac12 < 0\), и наибольшее значение функции в ее вершине.

\(y= -0,5x^{2} + 4x - 5,5\)

\(a=-0,5\), \(b=4\), \(c=-5,5\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2\cdot(-0,5)}=\)

\(=-\frac{4}{-1} = 4.\)

\(y= -0,5\cdot 4^{2} + 4\cdot 4 - 5,5=\)

\(=-0,5\cdot16 + 16 -5,5 =\)

\(=-8+16-5,5 =2,5.\)

\((4; 2,5)\) - вершина параболы.

\(E(y) = (-\infty; 2,5]\).

Ответ: \(E(y) = (-\infty; 2,5]\).

г) \(y = -3x^{2} - 2x - 4\dfrac{2}{3}\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -3 < 0\), и наибольшее значение функции в ее вершине.

\(a=-3\), \(b=-2\), \(c=-4\dfrac{2}{3}\).

\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot(-3)}=\)

\(=-\frac{-2}{-6} = -\frac13.\)

\(y_0 = -3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{2} - 2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) - 4\dfrac{2}{3}=\)

\(=-3\cdot\frac{1}{9} +\frac23 - 4\frac23 =\)

\(=-\frac13 +\frac23 - 4\frac23 =-4\frac13\)

\(\left(-\frac{1}{3}; -4\frac{1}{3}\right)\) - вершина параболы.

\(E(y) = \left(-\infty; -4\frac{1}{3}\right]\).

Ответ: \(E(y) = \left(-\infty; -4\frac{1}{3}\right]\).

Пояснения:

Для квадратичной функции

\(y=ax^{2}+bx+c\)

вершина параболы даёт либо наименьшее, либо наибольшее значение функции.

Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх и значение в вершине \((x_0; y_0)\) — наименьшее, поэтому множество значений функции имеет вид: \( [y_{0},+\infty)\).

Если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз и значение в вершине \((x_0; y_0)\) — наибольшее, поэтому множество значений функции имеет вид: \( (-\infty,y_{0}]\).

В каждом пункте определили коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) и нашли координаты вершины параболы:

\(x_0 = -\frac{b}{2a}\),

\(y_0=ax_0^{2}+bx_0+c\).

Учитывая знак коэффициента \(a\), записали соответствующий промежуток значений функции.