Упражнение 433 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 3\text{ ч }45\text{ мин} = 3\frac{45}{60}\text{ ч } = 3\frac{3}{4}\text{ ч } =\)

\(=\frac{15}{4}\text{ ч } \).

Пусть \(x\) ч потребуется 1 экскаватору, а \(y\) ч - 2 экскаватору (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию первый экскаватор выполняет работу на 4 часа быстрее:

\[ y = x + 4. \]

Производительность 1 экскаватора \( \frac{1}{x}\), а второго \(\frac{1}{y}. \)

Совместно за \(\frac{15}{4}\) ч они выполняют всю работу:

\[ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \end{cases} \]

\( \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \)  \(/\times4\)

\( \frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}=4 \) \(/\times x(x + 4)\)

\(15(x+4) + 15x = 4x(x+4)\)

\(15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x\)

\(30x + 60 = 4x^2 + 16x\)

\(4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0\)

\(4x^2 - 14x - 60 = 0\)   \(/ : 2\)

\[ 2x^2-7x-30=0 \]

\( D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-30)=\)

\(=49+240=289 > 0\) - два корня.

\( \sqrt{289}=17. \)

\( x_1=\frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\).

\( x_2=\frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 6\), то

\[ y=6+4=10. \]

Ответ: первому экскаватору требуется \(6\) ч, второму — \(10\) ч.

---

Пояснения:

Правила и формулы:

1. Если работа выполняется за время \(t\), то производительность равна \(\dfrac{1}{t}\) работы за 1 час.

2. При совместной работе производительности складываются:

\[ v_{\text{общ}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}. \]

3. Если за время \(T\) выполнена вся работа, то

\[ T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]

4. Система с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение шагов:

Сначала ввели две переменные \(x\) и \(y\) — времена работы каждого экскаватора. Разность во времени дала уравнение \(y=x+4\).

Затем использовали условие о совместной работе: за \(\frac{15}{4}\) часа выполнена вся работа, значит произведение времени на суммарную производительность равно 1.

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень, потому что время не может быть отрицательным.

а) \(\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 2x+2, \\ 5x^2 - (2x+2) = 1 \end{cases}\)

 \( 5x^2 - (2x+2) = 1 \)

 \( 5x^2 - 2x-2 - 1 =0\)

\(5x^2 - 2x - 3=0 \)

\(a = 5\),  \(b= -2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-3)=\)

\(=4+60 = 64\),    \(\sqrt D = 8\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-2)+ 8}{2\cdot5}=\frac{10}{10} = 1\).

\(x_2= \frac{-(-2)- 8}{2\cdot5}=\frac{-6}{10} = -0,6\).

\(y_1 = 2\cdot1+2 = 4\).

\(y_2 = 2\cdot(-0,6) + 2 =\)

\(=-1,2 + 2  = 0,8\).

Ответ: \((1;4)\), \((-0,6;0,8)\).

б) \(\begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2y^2+2, \\ 3(2y^2+2) + y = 7 \end{cases}\)

\( 3(2y^2+2)+y=7 \)

\(6y^2+6+y-7=0 \)

\( 6y^2+y-1=0 \)

\(a = 6\),  \(b= 1\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 -4ac=1^2 - 4\cdot6\cdot(-1)=\)

\(=1+24=25 \),     \(\sqrt D = 5\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-1+ 5}{2\cdot6}=\frac{4}{12} = \frac13\).

\(y_2= \frac{-1+ 5}{2\cdot6}=\frac{-6}{12} = -\frac12=-0,5\).

\(x_1 = 2\cdot(\frac13)^2 +2 = 2\cdot\frac19+2=\)

\(=\frac29+2=2\frac29\).

\(x_2=2\cdot(-0,5)^2 + 2=\)

\(=2\cdot0,25+2 = 0,5+2 = 2,5\)

Ответ: \((2\frac{2}{9};\frac{1}{3})\), \((2.5;-0.5)\).

в) \(\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52, \\ y - x = 14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 - 3(x+14)^2 = 52, \\ y = x+14 \end{cases}\)

\(x^2 - 3(x+14)^2 = 52\)

\(x^2 - 3(x^2+28x+196) = 52\)

\(x^2 - 3x^2 - 84x - 588 - 52 = 0\)

\(-2x^2 -84x - 640 = 0\)    \(/ : (-2)\)

\(x^2 + 42x + 320 =0\)

\(a = 1\),   \(b = 42\),   \(c = 320\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=42^2 - 4\cdot1\cdot320 =\)

\(=1764 - 1280 = 484 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt {484} = 22\).

\(x_{1} = \frac{-42 + 22}{2\cdot1} = \frac{-20}{2} = -10\).

\(x_{2} = \frac{-42 - 22}{2\cdot1} = \frac{-64}{2} = -32\).

\(y_1 = -10+14 = 4\).

\(y_2 = -32+14 = -18\).

Ответ: \((-10;4), (-32;-18),\)

г) \(\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(3-2y)^2 + 2y^2 = 11, \\ x = 3-2y \end{cases}\)

\(3(3-2y)^2+2y^2=11 \)

\( 3(9-12y+4y^2)+2y^2-11 =0\)

\( 27-36y+12y^2+2y^2-11=0\)

\( 14y^2-36y+16=0 \)    \( / : 2\)

\(7y^2-18y+8=0 \)

\(a = 7\),  \(b= -18\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 -4ac =(-18)^2 - 4\cdot7\cdot 8=\)

\(=324 - 224 = 100\),    \(\sqrt D = 10\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-(-18)+ 10}{2\cdot7}=\frac{28}{14} = 2\).

\(y_2= \frac{-(-18)- 10}{2\cdot7}=\frac{8}{14} = \frac47\).

\(x_1 = 3 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1\).

\(x_2 = 3-2\cdot\frac47 = 3 - \frac87 = \)

\(=3 - 1\frac17 = 2\frac77 - 1\frac17 = 1\frac67\)

Ответ: \((-1;2), (1\frac{6}{7};\frac{4}{7})\).

д) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y \end{cases}\)

\(\begin{cases} (\frac43y)^2 + y^2 = 100, \\ x = \frac43y \end{cases}\)

\(\Bigl(\tfrac{4}{3}y\Bigr)^2+y^2=100 \)

\( \tfrac{16}{9}y^2+y^2=100 \)  \( /\times9\)

\(16y^2 +9y^2 =900\)

\(25y^2 = 900\)

\(y^2 = \frac{900}{25}\)

\(y^2 = 36\)

\(y = \pm\sqrt{36}\)

\(y_1 = -6\)   и   \(y_2 = 6\)

\(x_1 = \frac43\cdot(-6)=-\frac{4\cdot\cancel6  ^2}{\cancel3} =-8\).

\(x_2 = \frac43\cdot(6)=\frac{4\cdot\cancel6  ^2}{\cancel3} =8\).

Ответ: \((8;6), (-8;-6)\).

е) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - (2x-8)^2 = 32, \\ y = 2x - 8 \end{cases}\)

\( 2x^2-(2x-8)^2=32 \)

\( 2x^2-(4x^2-32x+64)=32 \)

\( 2x^2-4x^2+32x-64-32=0\)

\(-2x^2+32x-96=0 \)  \( / : (-2)\)

\(x^2-16x+48=0 \) 

\(a = 1\),  \(b= -16\),  \(c = 48\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-16)^2 - 4\cdot1\cdot48 =\)

\(=256 - 192 = 64\),    \(\sqrt D = 8\).

 \(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-16)+ 8}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12\).

\(x_2= \frac{-(-16)- 8}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4\).

\(y_1 = 2\cdot12  - 8 = 24 - 8 = 16\).

\(y_2 = 2\cdot4 - 8 = 8 - 8 = 0\).

Ответ: \((12;16), (4;0)\).

---

Пояснения:

При решении систем уравнений из пунктов а), б), г), д), е) использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пункте в) использовали способ сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

В каждом пункте получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).