Упражнение 430 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) ч потребуется первому комбайнеру, а второму — через \(y\) ч (\(x>0\) и \(y > 0\)). По условию первый работает быстрее на 24 часа:

\[ y - x = 24. \]

Производительность первого комбайнёра равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второго — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. Весь участок убран за 35 часов, тогда:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{35} \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y - x = 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 24} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35} \)   \(/\times 35x(x+24)\)

\(35(x+24) + 35x = x(x+24)\)

\(35x + 840 + 35x = x^2 + 24x\)

\(70x + 840 = x^2 + 24x\)

\(x^2 + 24x - 70x - 840 = 0\)

\(x^2 - 46x -840 = 0\)

\( D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) =\)

\(= 2116 + 3360 = 5476 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{5476} = 74. \)

\( x_1 = \frac{46 + 74}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\).

\(x_2 = \frac{46 - 74}{2\cdot1} = -\frac{28}{2} = -14 \) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 60\), то

\(y = 60 + 24 = 84\)

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 ч, второму — 84 ч.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1. В задачах на совместную работу удобно вводить две переменные — время работы каждого исполнителя.

2. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы.

3. При совместной работе производительности складываются.

4. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждого комбайнёра. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе — второе.

После подстановки система свелась к квадратному уравнению. Из двух корней подходит только положительный, так как время не может быть отрицательным.

а) \(\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - (3-y) = 39 \end{cases}\)

\(y^2 - (3-y) = 39 \)

\(y^2 - 3 + y - 39=0\)

\( y^2 + y - 42 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 1\),  \(c = -42\)

\(D = b^2 -4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1 + 168 = 169\),    \(\sqrt D = 13\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-1+ 13}{2\cdot1}=\frac{12}{2} = 6\).

\(y_2= \frac{-1- 13}{2\cdot1}=\frac{-14}{2} = -7\).

 \(x_1 = 3 - 6 = -3\).

\(x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10\).

Ответ: \((-3;6)\), \((10;-7)\).

б) \(\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1; \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + (1+x)^2 = -1; \end{cases}\)

\( x + (1+x)^2 = -1 \)

\(x + x^2 + 2x + 1 + 1=0 \)

\(x^2 + 3x + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 - 4\cdot1\cdot2=\)

\( = 9 - 8 = 1 \),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(x_2= \frac{-3 - 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 1 + (-1) = 0\)

\(y_2 = 1 + (-2) = -1\).

Ответ: \((-1; 0)\),  \((-2; -1)\).

в) \(\begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (x+8) = 14, \\ y = x + 8 \end{cases}\)

\( x^2 + (x+8) = 14\)

\(x^2 + x + 8 - 14=0\)

\(x^2 + x - 6 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 -4ac =1^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=1 + 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-1+ 5}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2\).

\(x_2= \frac{-1- 5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2} = -3\).

\(y_1 = 2 + 8 = 10\).

\(y_2 = -3 + 8 = 5\)

Ответ: \((2;10)\), \((-3;5)\).

г) \(\begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4 - x, \\ y + x(4-x) = 6. \end{cases}\)

\( (4 - x) + x(4 - x) = 6 \)

\( 4 - x + 4x - x^2 - 6=0\)

\( -x^2 + 3x - 2 = 0 \)    \(/\times (-1)\)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= -3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =(-3)^2 - 4\cdot1\cdot 2 =\)

\(=9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-3)+ 1}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2\).

\(x_1= \frac{-(-3)- 1}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1\).

\(y_1 = 4-2 = 2\).

\(y_2 = 4 - 1 = 3\).

Ответ: \((1;3)\), \((2;2)\).

Пояснения:

Метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

- если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

- если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

- если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

а) Выразили \(x=3-y\), подставили во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(y\), нашли два решения, после чего нашли соответствующие \(x\).

б) Выразили \(y=1+x\), подставили во второе уравнение, получилось квадратное уравнение по \(x\), нашли два решения, после чего нашли соответствующие \(x\).

При преобразовании уравнения использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

в) Выразили \(y=x+8\), подставили в первое уравнение, получили квадратное уравнение по \(x\), нашли два корня и соответствующие значения \(y\).

г) Выразили \(y=4-x\), подставили во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(x\), нашли два корня и соответствующие значения \(y\).