Упражнение 432 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первоначальная сумма вклада равна \(x\) р., а начисляемый процент равен \(y\) (\(x > 0\) и \(0 < y < 1\)).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ (x + 40\,000) + (x + 40\,000)y = 583\,200 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ x + 40\,000 + xy + 40\,000y = 583\,200 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ x + 40\,000 + 40\,000 + 40\,000y = 583\,200 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ x +80\,000 + 40\,000y = 583\,200 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ x + 40\,000y = 583\,200 - 80\,000 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 40\,000,\\ x + 40\,000y = 503\,200 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} (503\,200 - 40\,000y)y = 40\,000,\\ x = 503\,200 - 40\,000y \end{cases} \]

\( (503\,200 - 40\,000y)y = 40\,000\)

\( 503\,200y - 40\,000y^2 = 40\,000\)

\( -40\,000y^2 + 503\,200y - 40\,000 = 0\)  \(/ : (-800)\)

\(50y^2 - 629y + 50 = 0\) 

\(D = (-629)^2 - 4\cdot50\cdot50 =\)

\(=395641 - 10000 = 385641 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {385641} = \sqrt{81 \cdot 4761} = 9 \cdot 69 = 621\)

\(y_1 = \frac{629 + 621}{2\cdot50} = \frac{1250}{100} = 12,5\) - не удовлетворяет условию.

\(y_2 = \frac{629 - 621}{2\cdot50} = \frac{8}{100} = 0,08\).

\(0,08 = 8%\) - начисляемый процент.

\( x = 40\,000 : 0,08 = \)

\(=4\,000\,000 : 8 = 500\,000. \)

Ответ: в банк было вложено \(500\,000\) р., процентная ставка составляла \(8\%\) годовых.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно число умножить на проценты, выраженные десятичной дробью.

2. Текстовая задача переводится в систему уравнений с двумя переменными.

Подробное объяснение:

Из первого года следует, что процентный доход составил 40 000 р., что позволило связать вклад и процентную ставку.

Условие второго года дало второе уравнение системы. Решив систему, мы нашли процентную ставку, а затем и первоначальную сумму вклада.

а) \(\begin{cases} x+y=8, \\ xy=-20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=8 - x, \\ x(8-x)=-20 \end{cases}\)

\(x(8-x)=-20\)

\(8x - x^2 +20 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 8x - 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b= -8\),  \(c = -20\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\( = 64 + 80 = 144\),   \(\sqrt D = 12\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-8)+ 12}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\).

\(x_2= \frac{-(-8)- 12}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 8 - 10 = -2\).

\(y_2 =8-(-2) = 8 + 2 = 10\).

Ответ: \((10;-2)\), \((-2;10)\).

б) \(\begin{cases} x-y=0,8, \\ xy=2,4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=y+0,8, \\ (y+0,8)y=2,4 \end{cases}\)

\((y+0,8)y=2,4 \)

\(y^2+0,8y-2,4=0 \)

\(a = 1\),  \(b= 0,8\),  \(c = -2,4\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=0,8^2 - 4\cdot1\cdot2,4=\)

\(=0,64+9,6=10,24\),   \(\sqrt D = 3,2\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-0,8+ 3,2}{2\cdot1}=\frac{2,4}{2} = 1,2\).

\(y_2= \frac{-0,8- 3,2}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(x_1 = 1,2 + 0,8 = 2\).

\(x_2 = -2 + 0,8 = -1,2\).

Ответ: \((2;1,2)\), \((-1,2;-2)\).

в) \(\begin{cases} x^2-y^2=8, \\ x-y=4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (4+y)^2-y^2=8, \\ x=4+y \end{cases}\)

\((4+y)^2-y^2=8\)

\(16 + 8y + y^2-y^2 - 8 = 0\)

\(8y +8=0\)

\(8y = -8\)

\(y = -1\)

\(x = 4 + (-1) = 4-1= 3\).

Ответ: \((3;-1)\).

г) \(\begin{cases} x^2+y^2=5, \\ x+y=-3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+(-3-x)^2=5, \\ y=-3-x \end{cases}\)

\(x^2+(-3-x)^2=5\)

\(x^2+(3+x)^2=5\)

\(x^2 + 9 + 6x + x^2 - 5 = 0\)

\(2x^2 + 6x + 4=0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 + 3x + 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(= 9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(x_2= \frac{-3- 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = -3 - (-1)= -3 + 1 = -2\).

\(y_2 = -3 - (-2) =-3+2 = -1\).

Ответ: \((-1;-2)\), \((-2;-1)\).

Пояснения:

При решении систем уравнений использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а), б) и г) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пункте г) получили линейное уравнение вила \(ax = b\), которое имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

В пунктах в) и г) при выполнении преобразований использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В пункте г) также учли то, что :

\((-a - b)^2 = (a + b)^2\).