Упражнение 431 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) ч потребуется первой бригаде, а \(y\) ч - второй (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию первая бригада работает быстрее на 4 часа:

\[ y - x = 4. \]

Производительность первой бригады равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второй — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. За 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 участков, значит:

\[ 24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y - x = 4,\\ 24\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) = 5 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \end{cases} \]

\(\dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \)  \(/\times x(x+4)\)

\(24(x + 4) + 24x= 5x(x + 4)\)

\(24x + 96 + 24x = 5x^2 + 20x\)

\(48x + 96 = 5x^2 + 20x\)

\(5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0\)

\(5x^2 -28x - 96 = 0\)

\( D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) =\)

\(=784 + 1920 = 2704 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{2704} = 52. \)

\( x_1 = \frac{28 + 52}{2\cdot5} = \frac{80}{10} = 8\).

\( x_2 = \frac{28 - 52}{2\cdot5} = -\frac{24}{10} = -2,4\)  - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 8\), то

\[ y = 8 + 4 = 12. \]

Ответ: первая бригада заасфальтирует участок за 8 ч, вторая бригада — за 12 ч.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы: \(\dfrac{1}{t}\).

2. При совместной работе производительности складываются.

3. Разность во времени выполнения работы учитывается отдельным уравнением.

4. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждой бригады. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе за 24 часа даёт второе уравнение системы.

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого нашли время работы каждой бригады. Отрицательное значение отбросили, так как время не может быть отрицательным.

а) \(\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y+3, \\ (y+3)y = -2 \end{cases}\)

\( (y+3)y = -2 \)

\(y^2 + 3y + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 -4\cdot1\cdot2=\)

\(=9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(y_2= \frac{-3- 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(x_1= -1 + 3 = 2\).

\(x_2 = -2 + 3 = 1\).

Ответ: \((2;-1)\), \((1;-2)\).

б) \(\begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases}  y = 2,5 - x, \\ x(2,5-x) = 1,5 \end{cases}\)

\(x(2,5-x) = 1,5\)

\(2,5x - x^2 - 1,5 = 0\)   \(/\times(-2)\)

\(2x^2 -5x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b= -5\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 -4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=25 - 24 = 1\),    \(\sqrt D =1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-5)+ 1}{2\cdot2}=\frac{6}{4} = \frac32=1,5\).

\(x_2= \frac{-(-5)- 1}{2\cdot2}=\frac{4}{4} =1\).

\(y_1 = 2,5 - 1,5 = 1\).

\(y_2 = 2,5 - 1 = 1,5\).

Ответ: \((1;1,5)\), \((1,5;1)\).

в) \(\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = -1-x, \\ x^2 + (-1-x)^2 = 1 \end{cases}\)

\(x^2 + (-1-x)^2 = 1\)

\(x^2 + (1+x)^2 = 1\)

\(x^2 + 1 + 2x + x^2 -1 = 0\)

\(2x^2 + 2x = 0\)

\(x(2x + 2) = 0\)

\(x_1 = 0\)   или   \(2x + 2 = 0\)

                       \(2x = -2\)

                       \(x_2 = -1\)

\(y_1 = -1-0 = -1\).

\(y_2 = -1-(-1) =-1+1= 0\)

Ответ: \((0;-1)\), \((-1;0)\).

г) \(\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y+2, \\ (y+2)^2 - y^2 = 17 \end{cases}\)

\((y+2)^2 - y^2 = 17\)

\(y^2 + 4y + 4 -y^2 - 17 = 0\)

\(4y -13 = 0\)

\(4y = 13\)

\(y = \frac{13}{4}\)

\(y = 3,25\)

\(x = 3,25 +2 = 5,25\)

Ответ: \((5,25;3,25)\).

Пояснения:

При решении систем уравнений использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а) и б) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пункте в) получили неполное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx = 0\), корни которого находят разложением на множители

\(x(ax+b)=0\), учитывая то, что произведение рано нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

В пункте г) получили линейное уравнение вила \(ax = b\), которое имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

В пунктах в) и г) при выполнении преобразований использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В пункте в) также учли то, что :

\((-a - b)^2 = (a + b)^2\).