Упражнение 434 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первоначальная площадь опоры равна \(x\) дм², а новая площадь опоры равна \(y\) дм² (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию площадь уменьшили на 1 дм²:

\[ y = x - 1. \]

Первоначальная нагрузка на 1 дм² равна: \( \frac{30}{x}. \) После изменения масса стала 28 кг, а нагрузка на 1 дм² равна: \( \frac{28}{y}. \) По условию новая нагрузка больше прежней на 1 кг:

\[ \frac{28}{y} - \frac{30}{x} = 1. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x - 1,\\ \frac{28}{y} - \frac{30}{x} = 1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x - 1,\\ \frac{28}{x-1} - \frac{30}{x} = 1 \end{cases} \]

\( \frac{28}{x - 1} - \frac{30}{x} = 1\)  \(/\times x(x-1)\)

\(28x - 30(x-1) = x(x-1)\)

\(28x - 30x + 30 = x^2 - x\)

\(-2x + 30 = x^2 - x\)

\(x^2 - x + 2x - 30 = 0\)_

\(x^2 + x - 30 = 0\)

\(D = 1^2 + 4\cdot1\cdot(-30) = \)

\( = 1 + 120 = 121 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{121} = 11\).

\(x_1 = \frac{-1 + 11}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{-1 - 11}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 5\), то

Ответ: площадь опоры равна \(5\) дм².

---

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Нагрузка на единицу площади равна отношению массы к площади:

\[ q = \frac{m}{S}. \]

2. Изменение площади учитывается отдельным уравнением.

3. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), чтобы явно отразить изменение площади опоры. Первое уравнение описывает уменьшение площади, второе — изменение нагрузки на каждый квадратный дециметр.

После подстановки система свелась к квадратному уравнению. Из двух корней подходит только положительный, так как площадь не может быть отрицательной.

а) \(\begin{cases} 2xy - y = 7, \\ x-5y=2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2(2 + 5y)y - y = 7, \\ x=2+5y \end{cases}\)

\(2(2 + 5y)y - y = 7\)

\(4y + 10y^2 - y - 7 = 0\)

\(10y^2 + 3y - 7 = 0\)

\(a = 10\),   \(b = 3\),   \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\( = 3^2 - 4\cdot10\cdot(-7) = \)

\( = 9 + 280 = 289 > 0 \) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{289} = 17\)

\(y_1 = \frac{-3 + 17}{2\cdot10} = \frac{14}{20} =-\frac{7}{10} = 0,7\)

\(y_2 = \frac{-3 - 17}{2\cdot10} = \frac{-20}{20} =-1\).

\(x_1 = 2+5\cdot0,7 = 2 + 3,5 = 5,5\).

\(x_2 = 2+5\cdot(-1) = 2 - 5 = -3\).

Ответ: \((5,5; 0,7)\),  \((-3; -1)\).

б) \(\begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - x(4x-17) = 33, \\ y = 4x - 17 \end{cases}\)

\( 2x^2-x(4x-17)=33 \)

\( 2x^2-4x^2+17x-33=0\)

\( -2x^2+17x-33=0 \)    \(/\times(-1)\)

\( 2x^2-17x+33=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -17\),  \(c = 33\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^2-4\cdot2\cdot33=\)

\(=289-264=25 \),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-17) + 5}{2\cdot2} = \frac{22}{4} =\)

\(=\frac{11}{2}=5,5\).

\( x_2 = \frac{(-(-17) - 5}{2\cdot2} = \frac{12}{4} =3\).

\(y_1 = 4\cdot5,5 - 17 = 22 - 17 = 5\).

\(y_2 = 4\cdot3 - 17 = 12 - 17 = -5\).

Ответ: \((3;-5), (5,5;5)\).

в) \(\begin{cases} x^2 + 2y = 18, \\ 3x = 2y \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + 2\cdot \dfrac32x = 18, \\ y = \dfrac32x \end{cases}\)

\(x^2 + \cancel2\cdot \dfrac{3}{\cancel2}x = 18\)

\(x^2 + 3x - 18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -18\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot(-18) = \)

\(= 9 + 72 = 81 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{81} = 9\).

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-3 - 9}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\)

\(y_1 = \dfrac32\cdot3 = \frac92 = 4,5\).

\(y_2 = \dfrac32\cdot(-6) = -\frac{18}{2} = -9\).

Ответ: \((3; 4,5)\),  \((-6; -9)\).

г) \(\begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 4, \\ (y+4)^2 + y^2 = 8,5 \end{cases}\)

\((y+4)^2 + y^2 = 8,5\)

\(y^2 + 8y + 16 +y^2 - 8,5 = 0\)

\(2y^2 +8y + 7,5=0\)    \(/\times2\)

\(4y^2 + 16y + 15=0\)

\(a = 4\),  \(b= 16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac=16^2-4\cdot4\cdot15=\)

\(=256-240=16 \),   \(\sqrt D = 4\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-16 + 4}{2\cdot4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}=\)

\(=-1,5\).

\( y_2 = \frac{-16 - 4}{2\cdot4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}=\)

\(=-2,5\).

\(x_1 = -1,5 + 4 = 2,5\).

\(x_2 = -2,5 + 4 = 1,5\).

Ответ: \((2,5;-1,5), (1,5;-2,5)\).

д) \(\begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2y-5)^2 + 4y = 10, \\ x =2y -5 \end{cases}\)

\((2y-5)^2+4y=10 \)

\(4y^2 -20y +25 + 4y - 10=0\)

\( 4y^2-16y+15=0 \)

\(a = 4\),  \(b= -16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-16)^2-4\cdot4\cdot15=\)

\(=256-240=16 \),   \(\sqrt D = 4\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-(-16) + 4}{2\cdot4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}=2,5\).

\( y_2 = \frac{-(-16) - 4}{2\cdot4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}=1,5\).

\(x_1 = 2\cdot2,5 - 5 = 5- 5 = 0\).

\(x_2 = 2\cdot1,5 - 5 = 3 - 5 = -2\).

Ответ: \((-2;1,5), (0;2,5)\).

е) \(\begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2y - 1, \\ 5(2y-1)y + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(5(2y-1)y+y^2=16 \)

\( 10y^2-5y+y^2-16 =0\)

\( 11y^2-5y-16=0 \)

\(a = 11\),  \(b= -5\),  \(c = -16\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-5)^2-4\cdot11\cdot(-16)=\)

\(=25+704=729 \),   \(\sqrt D = 27\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-(-5) + 27}{2\cdot11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}=\)

\(=1\frac{5}{11}\).

\( y_2 = \frac{-(-5) - 27}{2\cdot11} = \frac{-22}{22} = -1\).

\(x_1 = 2\cdot\frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - 1 = \)

\(=2\frac{10}{11} - 1 = 1\frac{10}{11}\).

\(x_2 = 2\cdot(-1) - 1 = -2 - 1 = -3\).

Ответ: \((\frac{21}{11};\frac{16}{11}), (-3;-1)\).

---

Пояснения:

При решении систем уравнений из пунктов б), г), д), е) использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а) и в) использовали способ сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

В пунктах б), г), д), е) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пунктах а) и в) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).