Упражнение 428 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\[ \frac{1}{2}xy = 24. \]

По теореме Пифагора:

\[ x^2 + y^2 = 10^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac12xy = 24,  /\times2\\ x^2 + y^2 = 10^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 48,\\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac{48}{y},\\[6pt] \left(\frac{48}{y}\right)^2 + y^2 = 100 \end{cases} \]

\(\left(\frac{48}{y}\right)^2 + y^2 = 100\)

\(\frac{2304}{y^2} + y^2 = 100\)     \(/\times y^2\)

\(2304 + y^4 = 100y^2\)

\(y^4 - 100y^2 + 2304 = 0\)

Пусть \(y^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 100t + 2304 = 0\)

\(D = (-100)^2 - 4\cdot1\cdot2304 =\)

\(= 10000 - 9216 = 784 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {784} = 28\).

\(t_1 = \frac{100 + 28}{2\cdot1} = \frac{128}{2} = 64\).

\(t_2 = \frac{100 - 28}{2\cdot1} = \frac{72}{2} = 36\).

1) Если \(t = 64\), то

\(y^2 = 64\)

\(y = -8\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 8\), тогда

\(x = \frac{48}{8} = 6\).

2) Если \(t = 36\), то

\(y^2 = 36\)

\(y = -6\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 6\), тогда

\(x = \frac{48}{6} = 8\).

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны \(6\) см и \(8\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Площадь прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2}ab, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

2. Теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к биквадратному уравнению, которое через замену переменной приводим к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).

\(15\) мин = \(\frac14\) ч.

\( x > 0\)

Составим уравнение:

\( \frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}\)  \(/\times4x(x+2)\)

\(144(x + 2) - 144x = x(x+2)\)

\(\cancel{144x} + 288 - \cancel{144x} = x^2 + 2x\)

\(288 = x^2 + 2x\)

\(x^2 + 2x - 288 = 0\)

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1\cdot (-288) =\)

\(=4 + 1152 = 1156 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{1156} = 34. \)

\( x_1 = \frac{-2 + 34}{2} = 16,\)

\(x_2 = \frac{-2 - 34}{2} = -18 < 0 \) - не удовлетворяет условию.

1) \( 16\) (км/ч) - скорость первого велосипедиста.

2) \( 16 + 2 = 18 \) (км/ч) - скорость второго велосипедиста.

Ответ: \(16\) км/ч и \(18\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути:

\(\; s = vt \), откуда \(\; t = \dfrac{s}{v}\).

2. Если один участник начал движение позже, разность времени движения учитывается отдельно.

3. Квадратное уравнение вида

\(\; ax^2 + bx + c = 0 \;\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Так как велосипедисты встретились в середине пути, каждый проехал одинаковое расстояние — 36 км. Первый начал движение раньше, поэтому его время в пути больше на 15 минут (\(\frac14\) часа).

Составив уравнение на основе времени движения и скоростей, получили дробно-рациональное уравнение, домножив которое на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получили квадратное уравнение. Из двух корней подходит только положительный, так как скорость не может быть отрицательной, для которого нашли соответствующее значение скорости второго велосипедиста.