Упражнение 429 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По теореме Пифагора для исходного треугольника:

\[ x^2 + y^2 = 13^2 = 169.\]

Пусть увеличили катет \(x\) на 4 см, тогда новая гипотенуза равна \(13 + 2 = 15\) см. По теореме Пифагора для нового треугольника:

\[ (x+4)^2 + y^2 = 15^2 = 225. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 169,   /\times(-1)\\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \]

\( \begin{cases} -x^2 - y^2 = -169, \\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \)   \((+)\)

\[ - x^2 + (x+4)^2 = -169 + 225 \]

\[ -\cancel{x^2} + \cancel{x^2} + 8x + 16 = 56 \]

\[ 8x + 16 = 56 \]

\(8x = 56 - 16\)

\[ 8x = 40\]

\(x = \frac{40}{8}\)

\[ x = 5 \]

\[ 5^2 + y^2 = 169 \]

\[ 25 + y^2 = 169 \]

\(y^2 = 169 - 25\)

\[ y^2 = 144 \]

\( y = 12\)

\(y = -12\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны \(5\) см и \(12\) см.

Пояснения:

Исходный треугольник:

Новый треугольник:

Используемые правила и формулы:

1. Теорема Пифагора:

\(\;a^2 + b^2 = c^2\),

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - гипотенуза.

2. При изменении одного катета меняется гипотенуза, что позволяет составить второе уравнение.

3. Систему уравнений удобно решать методом сложения, предварительно умножив первое уравнение системы на \((-1)\) в результате чего получим линейное уравнение с одной переменной, решив которое найдем переменную \(x\).

4. Подставляя найденное значение \(x\) в первое уравнение системы, находим значение переменной \(y\), учитывая то, что длина не может быть отрицательной.

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).

а) \(\begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3; \end{cases}\)

\(\begin{cases} y^2 - y+3 = -1, \\ x = y + 3; \end{cases}\)

\( y^2 - (y+3) = -1 \)

\(y^2 - y - 3 + 1=0 \)

\(y^2 - y - 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= -1\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-2)=\)

\(=1+ 8 = 9\),    \(\sqrt D = 3\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-(-1)+ 3}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2\).

\(y_2= \frac{-(-1) - 3}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(x_1 = 2 + 3 = 5\).

\(x_2 = -1 + 3 = 2\).

Ответ: \((5; 2)\),  \((2; -1)\).

б) \(\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26; \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2(x-1) = 26; \end{cases}\)

\( x^2 - 2(x-1) = 26 \)

\(x^2 - 2x + 2 - 26\)

\(x^2 - 2x - 24 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= -2\),  \(c = -24\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) =\)

\(=4 + 96 = 100 \),    \(\sqrt D = 10\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{2 + 10}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\( x_2 = \frac{2 - 10}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

\(y_1 = 6 - 1 = 5\).

\(y_2 = -4-1 = -5\).

Ответ: \((6;5)\), \((-4;-5)\).

в) \(\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6; \end{cases}\)

\(\begin{cases}  (y+6)y + (y+6)= -4, \\ x = y+6; \end{cases}\)

\( (y+6)y + (y+6) = -4 \)

\(y^2 + 6y + y + 6 + 4 = 0 \)

\( y^2 + 7y + 10 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 7\),  \(c = 10\)

\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4\cdot1\cdot10 =\)

\( = 49 - 40 = 9\),    \(\sqrt 9 = 3\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-7+ 3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_2= \frac{-7- 3}{2\cdot1}=\frac{-10}{2} = -5\).

\(x_1 = -2 + 6 = 4\).

\(x_2 = -5 + 6 = 1\).

Ответ: \((4;-2)\), \((1;-5)\).

г) \(\begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 9-y, \\ y^2 + (9-y) = 29. \end{cases}\)

\(y^2 + (9 - y) = 29 \)

\(y^2 + 9 - y - 29 = 0 \)

\(y^2 - y - 20 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= -1\),  \(c = -20\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) =\)

\(=1 + 80 = 81 \),    \(\sqrt D = 9\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-(-1)+ 9}{2\cdot1}=\frac{10}{2} = 5\).

\(y_2= \frac{-(-1) - 9}{2\cdot1}=\frac{-8}{2} = -4\).

\(x_1 = 9 - 5 = 4\).

\(x_2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13\).

Ответ: \((4;5)\), \((13;-4)\).

Пояснения:

Метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

- если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

- если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

- если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

а) Выразили \(x = y + 3\), подставили в первое, получили квадратное уравнение по \(y\), нашли корни и соответствующие \(x\).

б) Подставили \(y = x - 1\) во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(x\), нашли \(x\), затем восстановили \(y\).

в) Из уравнения \(x - y = 6\) нашли \(x = y + 6\), подставили в первое уравнение, получилось квадратное уравнение по \(y\). После нахождения \(y\) нашли \(x\).

г) Из уравнения \(x + y = 9\) нашли

\(x = 9 - y\), подставили во второе, получили квадратное уравнение по \(y\), нашли решения, затем восстановили \(x\).