Упражнение 427 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

Площадь прямоугольника равна:

\[ xy = 30. \]

Площади квадратов равны \(x^2\) и \(y^2\), тогда

\[ 2x^2 + 2y^2 = 122. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 30,\\ 2x^2 + 2y^2 = 122  / : 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 30,\\ x^2 + y^2 = 61 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac{30}{y},\\[6pt] \left(\frac{30}{y}\right)^2 + y^2 = 61 \end{cases} \]

\(\left(\frac{30}{y}\right)^2 + y^2 = 61\)

\(\frac{900}{y^2} + y^2 = 61\)   \(/\times y^2\)

\(900 + y^4 = 61y^2\)

\(y^4 - 61y^2 + 900 = 0\)

Пусть \(y^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 61t + 900 = 0\)

\(D = (-61)^2 - 4\cdot1\cdot900 = \)

\(=3721 - 3600 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{121} = 11\).

\(t_1 = \frac{61 + 11}{2\cdot1} = \frac{72}{2} = 36\).

\(t_2 = \frac{61 - 11}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

1) Если \(t = 36\), то

\(y^2 = 36\)

\(y = -6\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 6\), тогда

\(x = \frac{30}{6} = 5\).

2) Если \(t = 25\), то

\(y^2 = 25\)

\(y = -5\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 5\), тогда

\(x = \frac{30}{5} = 6\)

Ответ: стороны прямоугольника равны \(5\) см и \(6\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Площадь прямоугольника:

\(\;S = ab\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

2. Площадь квадрата со стороной \(a\):

\(\;S = a^2\).

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к биквадратному уравнению, которое через замену переменной приводим к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).

\(a > -1\).

Доказать, что при всех допустимых \(a\)

\[ \left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}\right):\frac{4a}{5a-5} > 0 \]

ОДЗ:

\( a-1\ne 0, \Rightarrow  a\ne 1\),

\(a+1\ne 0, \Rightarrow  a\ne -1\),

\(\frac{4a}{5a-5}\ne 0, \Rightarrow  a\ne 0 \).

\( \left(\frac{a+1}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash a+1}} -\frac{a-1}{a+1} ^{\color{blue}{\backslash a-1}} \right):\frac{4a}{5a-5} > 0\)

\(\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{5a-5}{4a} > 0\)

\(\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{5a-5}{4a} > 0\)

\(\frac{\cancel{a^2}+2a+\cancel1-\cancel{a^2}+2a-\cancel1}{\cancel{(a-1)}(a+1)}\cdot\frac{5\cancel{(a-1)}}{4a} > 0\) 

\(\frac{\cancel{4a}}{(a+1)}\cdot\frac{5}{\cancel{4a}} > 0\)

\(\frac{5}{a+1} > 0\) - верно при всех допустимых значениях \(a > -1\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

\(\frac ab : \frac cd = \frac ab \cdot \frac dc\).

2. Вычитание дробей с разными знаменателями:

\[ \frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-rq}{qs}. \]

3. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

4. Для знака дроби важно, чтобы знаменатель не был равен нулю; при \(a>-1\) число \(a+1\) положительно.

Разбор по шагам:

Сначала выписали область допустимых значений: нельзя делить на ноль, и нельзя делить на дробь, равную нулю, поэтому запрещены

\(a=1\), \(a=-1\), \(a=0\).

Далее привели выражение в скобках к общему знаменателю \((a-1)(a+1)\) и получили числитель

\((a+1)^2-(a-1)^2\),

в котором раскрыли скобки, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.

После этого заменили деление на \(\dfrac{4a}{5a-5}\) умножением на обратную дробь \(\dfrac{5a-5}{4a}=\dfrac{5(a-1)}{4a}\) и сократили одинаковые множители \(4a\) и \((a-1)\) (это допустимо на ОДЗ).

В итоге выражение свелось к \(\dfrac{5}{a+1}\). При условии \(a>-1\) знаменатель полученной дроби \(a+1\) положителен, значит вся дробь положительна при всех допустимых \(a\).