Упражнение 426 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость первого тела равна \(x\) м/с, скорость второго — \(y\) м/с (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию первое тело за 6 с прошло столько же, сколько второе за 8 с:

\[ 6x = 8y. \]

Через 15 с первое тело прошло \(15x\) м, второе — \(15y\) м, тогда по теореме Пифагора:

\[ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 6x = 8y,\\ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac86y,\\ 225x^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac43y,\\ 225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]

\(225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9\)

\( ^{\color{blue}{25}}\cancel{225}\cdot\frac{16}{\cancel9_ {\color{blue}{1}}  }y^2 + 225y^2 = 9\)

\(25\cdot16y^2 + 225y^2 = 9\)

\(400y^2 + 225y^2 = 9\)

\(625y^2 = 9\)

\(y^2 = \frac{9}{625}\)

\(y = \pm\sqrt{\frac{9}{625}}\)

\(y_1 = \frac{3}{25}\),

\(y_2 = -\frac{3}{25}\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = \frac{3}{25}\), то

\(x = \frac{4}{\cancel3}\cdot\frac{\cancel3}{25} =\frac{4}{25}\).

Ответ: скорость первого тела равна \(\dfrac{4}{25} = 0,16\) м/с, скорость второго — \(\dfrac{3}{25} = 0,12 \) м/с.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути: \(\; s = vt \).

2. Если движение происходит по перпендикулярным направлениям, расстояние между телами определяется по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.

3. Системы уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к неполному квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Подробное объяснение:

Первое условие задачи связывает скорости тел через равенство пройденных расстояний за разное время. Второе условие связано с расстоянием между телами через 15 секунд и использует теорему Пифагора, так как движения происходят под прямым углом.

После составления системы и её решения были найдены скорости обоих тел. При этом учли то, что скорость не может быть отрицательной.

\(\begin{cases} x + y = a + 1,\\ 3x - y = a - 1 \end{cases}\)  \((+)\)

\((x + 3x) + (y - y) = (a + a) + (1 - 1)\)

\(4x = 2a\)

\(x = \dfrac{a}{2}\)

\(\dfrac{a}{2} + y = a + 1\)

\(y = a + 1 - \dfrac{a}{2}\)

\(y = \dfrac{a}{2} + 1\)

Решение системы:

\(x = \dfrac{a}{2}\),    \(y = \dfrac{a}{2} + 1\).

1) \(x > 0\)

\(\dfrac{a}{2} > 0\)   \(/\times2\)

\(a > 0\)

2) \(y > 0\)

\(\dfrac{a}{2} + 1 > 0\)

\(\dfrac{a}{2} > -1\)  \(/\times2\)

\(a > -2\)

3) \(\begin{cases} a > 0,\\ a > -2, \end{cases} \, \Rightarrow \, a > 0\)

Ответ: решением системы является пара положительных чисел при всех значениях \(a > 0\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Систему линейных уравнений можно решать способом сложения.

2. После нахождения решения с параметром необходимо отдельно проверить дополнительные условия (в данной задаче — положительность чисел).

Подробное объяснение:

Система линейная и имеет единственное решение при любом \(a\). Мы выразили \(x\) и \(y\) через параметр \(a\):

\[ x = \frac{a}{2}, \qquad y = \frac{a}{2} + 1. \]

Чтобы пара \((x,y)\) состояла из положительных чисел, оба выражения должны быть больше нуля. Это приводит к неравенствам \(a>0\) и \(a>-2\). Более строгое из них — \(a>0\), оно и является ответом.