Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой

Рассмотрим горизонтальную прямую МN и отметим на этой прямой точку О. Точку О называют началом отсчета, ей соответствует число 0 и она разбивает прямую MN на два дополнительных луча: ОМ и ОN. Отметим на луче ОN точку А, которой соответствует число +1, т.е. зададим единичный отрезок. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы отличать друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак "+", т.е. луч ОN задает положительное направление, а перед координатами на другом луче знак " - ", т.е. луч ОМ задает отрицательное направление. Положительное направление указывают стрелкой.

Числа, которые пишут со знаком "+", например, +2; +4,5; +, но обычно для краткости в записи этот знак не пишут, т.е. вместо +2; +4,5; +, пишут просто 2; 4,5; , называют положительными. Числа, которые пишут со знаком " - ", например, -3; -7,2; -, называют отрицательными (если число отрицательное, то знак " - " писать обязательно).

Определение:

На рисунке выше прямая МN - координатная прямая, т.к. на ней задано начало отсчета - точка О, единичный отрезок ОА и направление - вправо.

Число 0 не является ни положительным числом, ни отрицательным числом. Оно отделяет положительные и отрицательные числа друг от друга. Все положительные числа и ноль называют неотрицательными числами, а все отрицательные числа и ноль, называют неположительными числами.

Прямые могут находится в различных положениях, поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но и в других направлениях. Самые распространенные направления дополнительных лучей: влево и вправо, когда прямая расположена горизонтально (рисунок выше), вверх и вниз, когда прямая расположена вертикально (рисунок ниже).

Определение:

На рисунке выше изображена горизонтальная координатная прямая с началом отсчета О и единичным отрезком ОА. Точка В изображает число -1, значит, точка В имеет координату -1, записывают так: В(-1). Аналогично можно записать: А(1), D(), М(), Р(2), С(-1,5), К(-2).

Точки Р и К изображают числа 2 и - 2 соответственно. Эти точки лежат по разные стороны от начала отсчета, но на одинаковом расстоянии от него. Числа 2 и -2 называют противоположными.

Определение:

Например, противоположными будут: 8 и -8; 3,4 и -3,4; и -. Для каждого числа есть только одно число противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Выражение означает, что записано число, противоположное числу . Приписав перед число знак " - ", например к положительному числу 10, получим противоположное ему число -10. Так же с помощью знака " - " из отрицательного числа -10 можно получить противоположное ему число 10, т.е. -(-10) = 10. В общем виде можем записать: . Обратите внимание, скобки при записи обязательны, запись не имеет смысла.

Определение:

Числа -25, 0, 14 - целые числа, числа ; -2,5; - не являются целыми, их называют дробными числами. Вместе целые и дробные числа образуют рациональные числа.

Обратите внимание, разные координатные прямые могут иметь разные единичные отрезки, так, на рисунке ниже, координатная прямая АВ имеет единичный отрезок, равный 1 клетке, прямая РК имеет единичный отрезок, равный 2 клетки, а прямая МN имеет единичный отрезок, равный 3 клетки.

Изменение величин

Примером изменения величины может служит изменение температуры в течение дня. Рассмотрим как изменялись показания термометров в течение дня:

Утром температура воздуха была 2°С, днем - 5°С, вечером - 0°С. То есть за первую половину дня температура повысилась на 3°С, а к вечеру понизилась на 5°С. Учитывая вышесказанное, мы можем выразить первое изменение - повышение температуры - положительным числом 3°С, при этом говорим, что изменение температуры равно 3°С или +3°С. Второе изменение - понижение температуры - отрицательным числом -5°С, при этом говорим, что изменение температуры равно -5°С.