Упражнение 394 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 + y^2 = 36\) и \(y = x^2 + 6\).

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)

\(x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36\)

\(x^2 + x^4 + 12x^2 + 36 - 36 = 0\)

\(x^4 + 13x^2 = 0\)

\(x^2(x^2 + 13) = 0\)

\(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\).

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\)

\(y = 0^2 + 6 = 6\)

Ответ: точка пересечения \((0, 6)\).

б) \(x^2 + y^2 = 16\) и \((x - 2)^2 + y^2 = 36\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y^2 = 16 - x^2,\\ (x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \end{cases}\)

\((x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \)

\(\cancel{x^2} - 4x + 4 + 16 - \cancel{x^2} = 36\)

\(-4x + 20 = 36\)

\(-4x = 36-20\)

\(-4x = 16\)

\(x = \frac{16}{-4}\)

\(x = -4\)

\((-4)^2 + y^2 = 16\)

\(16 + y^2 = 16\)

\(y^2 = 16 - 16\)

\(y^2 = 0\)

\(y = 0\)

Ответ: точка пересечения \((-4, 0)\).

в) \(x^2 + y^2 = 25\) и \(4x - y = 0\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ 4x - y = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (4x)^2 = 25,\\ y = 4x \end{cases}\)

\(x^2 + (4x)^2 = 25\)

\(x^2 + 16x^2 = 25\)

\(17x^2 = 25\)

\(x^2 = \dfrac{25}{17}\)

\(x = \pm\sqrt{\frac{25}{17}}\)

\(x = \pm\dfrac{5}{\sqrt{17}}\)

Если \(x = \dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то

\(y = 4\cdot\dfrac{5}{\sqrt{17}} = \dfrac{20}{\sqrt{17}}\).

Если \(x = -\dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то

\(y = 4\cdot\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}}\right) = -\dfrac{20}{\sqrt{17}}\).

Ответ: точки пересечения:

\(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).

Пояснения:

Точки пересечения двух графиков находятся из системы, составленной из их уравнений.

При решении систем используем метод подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Пояснение к пункту а).

Подставили \(y = x^2 + 6\) в уравнение окружности. Получилось уравнение \[ x^4 + 13x^2 = 0, \] которое раскладывается на множители \(x^2(x^2+13)=0\). Учитывая то, что \(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\), полученное уравнение имеет один корень \(x=0\), затем нашли \(y=6\). Точка пересечения графиков \((0; 6)\).

Пояснение к пункту б).

Из уравнения первой окружности выразили \(y^2\) и подставили в уравнение второй окружности. Получили линейное уравнение \(-4x + 20 = 36\), из которого нашли \(x = -4\), затем нашли \(y = 0\). Точка пересечения графиков \((-4; 0)\).

Пояснение к пункту в).

Из уравнения прямой \(4x-y=0\) выразили \(y=4x\) и подставили в окружность. Получили \( 17x^2=25, \) поэтому \(x=\pm \dfrac{5}{\sqrt{17}}\). Затем нашли соответствующие значения \(y\). Точки пересечения графиков \(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).

а) \(\dfrac{6x + 2}{x + 4} < 5\)

\(\dfrac{6x+2}{x+4} - 5^{\color{blue}{\backslash x+4}} < 0\)

\(\dfrac{6x+2 - 5(x+4)}{x+4} < 0\)

\(\dfrac{6x+2 - 5x - 20}{x+4} < 0\)

\(\dfrac{x - 18}{x + 4} < 0\)

\((x - 18)(x + 4) < 0\)

\((x - 18)(x + 4) = 0\)

\(x - 18 = 0\)  или  \(x + 4 = 0\)

\(x = 18\)                 \(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-4;18)\).

б) \(\dfrac{5x + 8}{x} > 1\)

\(\dfrac{5x+8}{x} - 1 ^{\color{blue}{\backslash x}} > 0\)

\(\dfrac{5x+8 - x}{x} > 0\)

\(\dfrac{4x+8}{x} > 0\)

\((4x + 8)x > 0\)

\(4x + 8 = 0\)  или  \(x = 0\)

\(4x = -8\)

\(x = \frac{-8}{4}\)

\(x = -2\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-2)\cup(0,+\infty)\).

в) \(\dfrac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1\)

\(\dfrac{3-2x}{3x+2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash3x+2}} \le 0\)

\(\dfrac{3-2x - (3x+2)}{3x+2} \le 0\)

\(\dfrac{3-2x - 3x-2}{3x+2} \le 0\)

\(\dfrac{1 - 5x}{3x+2} \le 0\)

\(\begin{cases} (1-5x)(3x+2) \le 0, \\ 3x + 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-5x)(3x+2) \le 0, \\ 3x \ne -2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-5x)(3x+2) \le 0, \\ x \ne -\frac23 \end{cases}\)

\( (1-5x)(3x+2) \le 0\)

\( (1-5x)(3x+2) = 0\)

\(1 - 5x = 0\)  или  \(3x + 2 = 0\)

\(5x = 1\)                 \(3x = -2\)

\(x = \frac15\)                   \(x =- \frac23\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-\tfrac{2}{3})\cup\left[\tfrac{1}{5},+\infty\right).\)

г) \(\dfrac{5x - 4}{x + 8} \ge 15\)

\(\dfrac{5x-4}{x+8} - 15 ^{\color{blue}{\backslash x+8}} \ge 0\)

\(\dfrac{5x-4 - 15(x+8)}{x+8} \ge 0\)

\(\dfrac{5x-4 -15x -120}{x+8} \ge 0\)

\(\dfrac{-10x -124}{x+8} \ge 0\)

\(\begin{cases} (-10x - 124)(x+8) \ge 0, \\ x + 8 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-10x - 124)(x+8) \ge 0, \\ x \ne -8 \end{cases}\)

\((-10x - 124)(x+8) \ge 0\)

\((-10x - 124)(x+8) = 0\)

\(-10x - 124 = 0\)  или  \(x + 8 = 0\)

\(-10x = 124\)                 \(x = -8\)

\(x = -\frac{124}{10}\)

\(x = -12,4\)

Ответ: \(x \in \left[-12,4,-8\right).\)

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.