Упражнение 397 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100,\\ y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10. \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 100\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 10\).

\(y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

Ответ: \((0; -10)\), \((6; 8)\), \((-6; 8)\).

Пояснения:

Уравнение \(x^2 + y^2 = 100\) задаёт окружность радиуса \(10\) с центром в начале координат.

Уравнение \(y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10\) задаёт параболу, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \((0;-10)\). Строим параболу по точкам, составив таблицу.

При графическом построении видно, что парабола касается окружности в точке \((0;-10)\) и пересекает её ещё в двух симметричных точках \((6;8)\) и \((-6;8)\).

а) \(x+4xy=5\)

\(x+4xy-5=0\)

Ответ: \(2\).

б) \(x^5+8x^3y^3=1\)

\(x^5+8x^3y^3-1=0\)

Ответ: \(6\).

в) \(8x^6-y^2=2x^4(4x^2-y)\)

\(8x^6-y^2=8x^6-2x^4y\)

\(\cancel{8x^6}-y^2-\cancel{8x^6}+2x^4y=0\)

\(2x^4y-y^2=0\)

Ответ: \(5\).

г) \((x-2y)^2-x^2=4y(y-x)+5x\)

\(\cancel{x^2}-4xy+4y^2-\cancel{x^2}=4y^2-4xy+5x\)

\(-4xy+4y^2=4y^2-4xy+5x\)

\(-\cancel{4xy}+\cancel{4y^2}-\cancel{4y^2}+\cancel{4xy}-5x=0\)

\(-5x=0\)

\(5x=0\)

Ответ: \(1\).

Пояснения:

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая - число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для того, чтобы выяснить, какова степень уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого - многочлен стандартного вида, а правая - число 0.

Степень одночлена находится как сумма показателей степеней всех переменных, входящих в этот одночлен.

В пункте а) нужно сначала перенести число \(5\) в левую часть:

\[ x+4xy-5=0. \]

Здесь самый большой по степени одночлен — это \(4xy\), его степень равна

\[ 1+1=2. \]

Поэтому степень уравнения равна \(2\).

В пункте б) после переноса единицы получаем:

\[ x^5+8x^3y^3-1=0. \]

Одночлен \(x^5\) имеет степень \(5\), а одночлен \(8x^3y^3\) имеет степень

\[ 3+3=6. \]

Наибольшая степень равна \(6\), значит и степень уравнения равна \(6\).

В пункте в) сначала нужно раскрыть скобки справа:

\[ 2x^4(4x^2-y)=8x^6-2x^4y. \]

Тогда уравнение становится таким:

\[ 8x^6-y^2=8x^6-2x^4y. \]

Теперь переносим всё в одну часть и приводим подобные члены. Члены \(8x^6\) уничтожаются:

\[ 2x^4y-y^2=0. \]

Степень одночлена \(2x^4y\) равна

\[ 4+1=5. \]

Это больше, чем степень одночлена \(y^2\), поэтому степень уравнения равна \(5\).

В пункте г) нужно раскрыть скобки и упростить обе части.

Слева:

\[ (x-2y)^2-x^2=x^2-4xy+4y^2-x^2=-4xy+4y^2. \]

Справа:

\[ 4y(y-x)+5x=4y^2-4xy+5x. \]

Получаем уравнение:

\[ -4xy+4y^2=4y^2-4xy+5x. \]

После переноса всех членов в одну часть одинаковые выражения сокращаются:

\[ -5x=0. \]

Это уравнение первой степени, потому что одночлен \(x\) имеет степень \(1\).