Упражнение 398 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№398 учебника 2023-2026 (стр. 122):
(Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0. \end{cases}\)
1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики и определены координаты точек пересечения графиков.
№398 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Докажите, что графиком уравнения \(x^2-y^2=0\) является пара прямых \(y=x\) и \(y=-x\).
Подсказка
№398 учебника 2023-2026 (стр. 122):
Вспомните:
- Что называют решением системы уравнений с двумя переменными, графический способ решения систем уравнений с двумя переменными.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Уравнение окружности, ее график.
- Квадратичная функция, ее график.
- Функция обратной пропорциональности, ее график.
- Линейная функция, ее график.
- Степень с натуральным показателем.
- Деление и дроби.
- Деление рациональных чисел.
- Умножение обыкновенных дробей.
- Вычитание рациональных чисел.
№398 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Вспомните:
- Уравнение с двумя переменными, его график.
- Линейная функция, ее график.
- Разность квадратов двух выражений.
- Свойства умножения.
Ответ
№398 учебника 2023-2026 (стр. 122):
а) \(\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = \frac6x, \\ 3y = 2x - 6 / : 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = \frac6x, \\ y = \frac23x - 2 \end{cases}\)
\(y = \frac6x\) - гипербола, ветви в I и III четвертях.
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
| \(y\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
| \(x\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) |
| \(y\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) |
\(y = \frac23x - 2\) - прямая.
| \(x\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-4\) |
Ответ: \((-1,9; -3,2)\), \((4,8; 1,2)\).
б) \(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y = x^2 \end{cases}\)
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((3; 4)\) и радиусом \(r = 2\).
\(y = x^2 \) - парабола, ветви которой направлены вверх.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Ответ: \((1{,}6;\,2{,}6)\) и \((2{,}4;\,5{,}9)\).
Пояснения:
Решения системы - это точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
Пункт а):
Уравнение \(xy=6\) задаёт гиперболу (произведение координат постоянно).
Уравнение \(2x-3y=6\) задаёт прямую.
Графически решения — это точки пересечения прямой и гиперболы; обычно таких точек может быть 0, 1 или 2. Здесь получилось 2 точки.
Пункт б):
Уравнение \((x-3)^2+(y-4)^2=4\) — окружность с центром \((3;4)\) и радиусом \(2\).
Уравнение \(y=x^2\) — парабола с вершиной \((0;0)\), ветви направлены вверх.
Графически решения — точки пересечения окружности и параболы. По рисунку видно две общие точки (парабола проходит через «область» окружности и пересекает её в двух местах).
№398 учебника 2014-2022 (стр. 111):
\(x^2-y^2=0\)
\((x-y)(x+y)=0\)
\(x-y=0\) или \(x+y=0\)
\(y=x\) или \(y=-x\)
Пояснения:
Рассмотрим уравнение:
\[ x^2-y^2=0. \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Применим её к нашему выражению:
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Тогда исходное уравнение можно записать в виде:
\[ (x-y)(x+y)=0. \]
Теперь используем правило:
\[ ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } b=0. \]
Следовательно, возможны два случая:
\[ x-y=0 \quad \text{или} \quad x+y=0. \]
Решим каждое из этих уравнений:
1) \(x-y=0\)
\[ y=x. \]
2) \(x+y=0\)
\[ y=-x. \]
Каждое из полученных уравнений задаёт прямую на координатной плоскости.
Таким образом, множество всех точек, удовлетворяющих уравнению \(x^2-y^2=0\), состоит из точек двух прямых:
\[ y=x \quad \text{и} \quad y=-x. \]
Следовательно, графиком данного уравнения является пара этих прямых.
Вернуться к содержанию учебника