Упражнение 389 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0,\\ 2y - x = 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0,\\  x = 2y - 2 \end{cases}\)

\(y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0\)

\(y^2 + \cancel{4y} - 4 - \cancel{4y} = 0\)

\(y^2 - 4 = 0\)

\((y - 2)(y + 2) = 0\)

\(y -2 = 0\)  или   \(y + 2 = 0\)

\(y = 2\)                  \(y = -2\)

1) Если \(y = 2\), то

\(x = 2\cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2\).

2) Если \(y = -2\), то

\(x =  2\cdot(-2) - 2 = -4 - 2 = -6.\)

Ответ: \((2;\, 2)\) и \( (-6;\, -2)\).

б) \(\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7,\\ y + 2x = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + x(1-2x) + (1-2x)^2 = 7,\\ y = 1 - 2x \end{cases}\)

\(x^2 + x(1-2x) + (1-2x)^2 = 7\)

\(x^2+ x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 - 7 =0\)

\(3x^2 - 3x - 6 = 0\)   \(/ : 3\)

\(x^2 - x - 2 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(=1 + 8 = 9 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt9 = 3\).

\(x_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(x_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1\).

1) Если \(x = 2\), то

\(y = 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3\).

2) Если \(x = -1\), то

\(y = 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.\)

Ответ: \( (2; -3)\) и \( (-1; 3)\).

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

В пункте а) после подстановки получается уравнение вида \(y^2 - 4 = 0\). Это простое квадратное уравнение, корни которого находятся разложением на множители \((y - 2)(y + 2) = 0\). Каждому найденному значению \(y\) сопоставляем \(x\) по формуле \(x = 2y - 2\), получая две пары решений.

В пункте б) после подстановки \(y = 1 - 2x\) в первое уравнение получается квадратное уравнение относительно \(x\): сначала приводим подобные члены, затем упрощаем, делим на общий множитель и решаем полученное квадратное уравнение. Каждое значение \(x\) подставляем в формулу \(y = 1 - 2x\), что даёт две пары решений.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \((x^2 - 16)(x + 17) > 0\)

\((x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0\)

\((x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0\)

или \(x - 4 = 0\)

       \(x = 4\)

или \(x + 4 = 0\)

       \(x = -4\)

или \(x + 17 = 0\)

       \(x = -17\)

Ответ: \(x \in (-17,-4)\cup(4,+\infty).\)

б) \(\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x^2 - 121) < 0\)

\(\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x - 11)(x + 11) < 0\)

или \(x - \dfrac{2}{3} = 0\)

       \(x = \dfrac{2}{3}\)

или \(x - 11 = 0\)

       \(x = 11\)

или \(x + 11 = 0\)

       \(x = -11\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-11)\cup\left(\dfrac{2}{3},11\right).\)

в) \(x^3 - 25x < 0\)

\(x(x^2 - 25) < 0\)

\(x(x - 5)(x + 5) < 0\)

\(x(x - 5)(x + 5) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 5 = 0\)

       \(x  = 5\)

или \(x + 5 = 0\)

       \(x = -5\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-5)\cup(0,5).\)

г) \(x^3 - 0{,}01x > 0\)

\(x(x^2 -0,01) > 0\)

\(x(x - 0,1)(x + 0,1) > 0\)

\(x(x - 0,1)(x + 0,1) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 0,1 = 0\)

       \(x  = 0,1\)

или \(x + 0,1 = 0\)

       \(x = -0,1\)

Ответ: \(x \in (-0,1; 0) \cup (0,1; +\infty)\)

д) \((x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0\)

\((x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0\)

\((x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0\)

или \(x - 3 = 0\)

       \(x  = 3\)

или \(x + 3 = 0\)

       \(x = -3\)

или \(x - 1 = 0\)

       \(x  = 1\)

или \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-3)\cup(-1,1)\cup(3,+\infty).\)

е) \((x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0\)

\(x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0\)

\(x(x - 15)(x - 6)(x + 6) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 15 = 0\)

       \(x  = 15\)

или \(x - 6 = 0\)

       \(x = 6\)

или \(x + 6 = 0\)

       \(x = -6\)

Ответ: \(x \in (-6,0)\cup(6,15).\)

Пояснения:

Приемы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx^2 = x(a+bx)\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

После разложения на множители при решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.