Упражнение 391 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 12,\\ xy = -6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12,\\ y = -\frac{6}{x} \end{cases}\)

\( x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12 \)

\( x^2 + \frac{36}{x^2} = 12\)      \(/\times x^2\)

\( x^4 + 36 = 12x^2\)

\( x^4 - 12x^2 + 36 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\( t^2 - 12t + 36 = 0\)

\((t - 6)^2 = 0\)

\(t - 6 = 0\)

\(t = 6\)

\(x^2 = 6\)

\(x = \pm\sqrt6\)

1) Если \(x = \sqrt{6}\), то

\( y = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = -\sqrt6\).

2) Если \(x = -\sqrt{6}\), то

\( y = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = \sqrt6\).

Ответ: \((\sqrt{6};\,-\sqrt{6})\), \((-\sqrt{6};\,\sqrt{6})\).

б) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34,\\ xy = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34,\\ y = \frac{20}{x} \end{cases}\)

\( 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34 \)

\( 2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34\)       \(/\times x^2\)

\( 2x^4 - 400 = 34x^2\)

\( 2x^4 - 34x^2 - 400 = 0\)   \( / : 2\)

\( x^4 - 17x^2 - 200 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 17t - 200 = 0\)

\( D = 17^2 - 4\cdot1\cdot(-200)=\)

\(= 289 + 800 = 1089> 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1089} = 33\).

\(t_1 = \frac{17 + 33}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

\(t_2 = \frac{17 - 33}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8\) - не удовлетворяет условию.

При \(t = 25\):

\( x^2 = 25\)

\(x = \pm5\).

Если \(x = 5\), то

\( y = \frac{20}{5} = 4\).

Если \(x = -5\), то

\( y = \frac{20}{-5} = -4\).

Ответ: \((5;\,4)\), \((-5;\,-4)\).

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Пояснение к пункту а).

После подстановки получено дробно-рациональное уравнение, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получили уравнение четвёртой степени, которое сводится к квадрату двучлена \((x^2 - 6)^2 = 0\). Это даёт одно значение \(x^2\), из которого находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).

Пояснение к пункту б).

Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получаем уравнение четвёртой степени, которое удобно рассматривать как квадратное относительно \(x^2\), то есть ввести замену \(x^2 = t \ge 0\). Отрицательное значение \(t\) отбрасывается, так как не имеет действительных решений. Из положительного \(t\) находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \(y = \dfrac{4}{\sqrt{(3x - 1)(6x + 1)}}\)

\( (3x - 1)(6x + 1) > 0\)

\( (3x - 1)(6x + 1) = 0\)

\(3x - 1 = 0\)  или  \(6x + 1 = 0\)

\(3x = 1\)                  \(6x = -1\)

\(x = \frac13\)                   \(x = -\frac16\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac16)\cup\left(\tfrac13,\,+\infty\right). \)

б) \(y = \dfrac{7}{\sqrt{(11x + 2)(x - 4)}}\).

\( (11x + 2)(x - 4) > 0\)

\(11x + 2 = 0\)  или  \(x - 4 = 0\)

\(11x = -2\)              \(x = 4\)

\(x = -\frac{2}{11}\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac{2}{11})\cup(4,\,+\infty). \)

Пояснения:

Корень \(\sqrt{A}\) существует только при \(A \ge 0\), но так как он находится в знаменателе, случай \(A=0\) исключается. Поэтому требуется строгое неравенство: \(A>0\).

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.