Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№395 учебника 2023-2026 (стр. 122):
Окружность \((x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25\) и прямая \(y = kx\) имеют общую точку \(M(1;\,2)\). Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.
№395 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Является ли пара чисел \((-1; 3)\) решением уравнения:
а) \(x^2-y+2=0\);
б) \(xy+y=6\);
в) \(x^2+y^2=10\);
г) \(x^2-y^2+8=0\)?
№395 учебника 2023-2026 (стр. 122):
Вспомните:
№395 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Вспомните:
№395 учебника 2023-2026 (стр. 122):
\((x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25\) и \(y = kx\)
\(M(1;\,2)\) - общая точка.
\(2 = k \cdot 1\)
\(k = 2\)
Уравнение прямой: \(y = 2x\).
\(\begin{cases}y = 2x,\\ (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2x,\\ (x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25 \end{cases}\)
\((x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25\)
\(x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 24x + 36 - 25 = 0\)
\(5x^2 - 32x + 27 = 0\)
\(D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 =\)
\(=1024 - 540 = 484 > 0\) -2 корня.
\(\sqrt{484} = 22\).
\(x_1 = \dfrac{32 + 22}{2\cdot5} = \dfrac{54}{10} = 5,4\)
\(x_2 = \dfrac{32 - 22}{2\cdot5} = \dfrac{10}{10} = 1\)
Если \(x = 5,4\), то
\(y = 2\cdot5,4 = 10,8\).
Если \(x = 1\), то
\(y = 2\cdot1 = 2\).
Ответ: другая общая точка \((5,4; 10,8)\).
Пояснения:
Сначала определяем значение \(k\) для прямой. Если точка принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Поэтому подставляем координаты общей точки в уравнение прямой и находим значение \(k\), получаем уравнение прямой: \(y = 2x\).
Далее, чтобы найти другие общие точки окружности и прямой, составляем систему из их уравнений. При решении системы использовали метод подстановки:
1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.
3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.
4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.
Подробное объяснение решения:
Составив систему, подставляем в уравнение окружности \(y = 2x\). Получилось квадратное уравнение, корни которого соответствуют абсциссам точек пересечения.
Один корень \(x = 1\) даёт известную точку \(M\). Второй корень соответствует другой точке пересечения. Подставив найденное значение \(x\) в уравнение прямой, получили координаты второй общей точки.
№395 учебника 2014-2022 (стр. 111):
\((-1; 3)\)
\(x=-1\), \(y=3\).
а) \(x^2-y+2=0\)
\((-1)^2-3+2=0\)
\(1 - 3 + 2 = 0\)
\(0=0\) - верно.
Ответ: является.
б) \(xy+y=6\)
\((-1)\cdot 3+3=6\)
\(-3 + 3 = 6\)
\(0 = 6\) - неверно.
Ответ: не является.
в) \(x^2+y^2=10\)
\((-1)^2+3^2=10\)
\(1 + 9 = 10\)
\(10=10\) - верно.
Ответ: является.
г) \(x^2-y^2+8=0\)
\((-1)^2-3^2+8=0\)
\(1 - 9 + 8 = 0\)
\(0=0\) - верно.
Ответ: является.
Пояснения:
Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения с двумя переменными, нужно подставить значения \(x\) и \(y\) в левую часть уравнения.
Если после вычислений получается верное равенство, то пара чисел является решением. Если равенство неверное, то не является.
Вернуться к содержанию учебника