Упражнение 399 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 122

а) \(\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ x+y+2=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ y=-x - 2 \end{cases}\)

1) \(x^2+y^2=16\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 4\).

2) \(y=-x - 2\) - прямая.

\(x\)	\(0\)	\(-2\)
\(y\)	\(-2\)	\(0\)

Ответ: \((-3,6;1,6)\), \((1,6; -3,6)\).

б) \(\begin{cases} xy=8,\\ x+y+3=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=\frac8x,\\ y=-x-3 \end{cases}\)

\(y=\frac8x\) - гипербола, ветви в I и III четвертях.

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
\(y\)	\(8\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)

\(x\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-4\)	\(-8\)
\(y\)	\(-8\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)

\(y = -x - 3\)

\(x\)	\(0\)	\(-3\)
\(y\)	\(-3\)	\(0\)

Ответ: решений нет.

в) \(\begin{cases} xy-3=0,\\ 2y-3x=3 \end{cases}\)

 

 

Ответ: \((1,3)\), \(\left(-2,-\dfrac{3}{2}\right)\).

г)

\(x^2-y=0\)

\(y=x^2\)

\((9x+4)(y-9)=0\)

\(9x+4=0\) или \(y-9=0\)

1) \(9x+4=0\)

\(x=-\dfrac{4}{9}\)

\(y=x^2=\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2=\dfrac{16}{81}\)

2) \(y-9=0\)

\(y=9\)

\(x^2=9\)

\(x=3\) или \(x=-3\)

Ответ: \(\left(-\dfrac{4}{9},\dfrac{16}{81}\right)\), \((3,9)\), \((-3,9)\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Решения системы графически — это точки пересечения графиков уравнений.

2. Если есть линейное уравнение, удобно выразить из него \(y\) через \(x\) и подставить во второе уравнение.

3. Если получаем квадратное уравнение и \(D<0\), то действительных точек пересечения нет.

4. Если уравнение дано в виде произведения \((A)(B)=0\), то возможно два случая: \(A=0\) или \(B=0\).

Пояснение к а).

Окружность \(x^2+y^2=16\) и прямая \(x+y+2=0\) пересекаются в точках, координаты которых найдены подстановкой \(y=-x-2\) в уравнение окружности. Получилось квадратное уравнение, давшее два значения \(x\), значит две точки пересечения.

Пояснение к б).

Гипербола \(xy=8\) и прямая \(x+y+3=0\) пересекаются, если существует решение после подстановки \(y=-x-3\). Получилось квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, значит графики не имеют общих точек.

Пояснение к в).

Гипербола \(y=\dfrac{3}{x}\) и прямая \(y=\dfrac{3x+3}{2}\) пересекаются там, где эти значения \(y\) равны. После приравнивания получилось квадратное уравнение с двумя корнями, значит две точки пересечения.

Пояснение к г).

Парабола \(y=x^2\) пересекается с графиком \((9x+4)(y-9)=0\), который является объединением двух прямых: \(9x+4=0\) и \(y=9\). Поэтому рассматриваем два случая отдельно и находим общие точки с параболой: одну точку с вертикальной прямой и две точки с горизонтальной прямой.