Упражнение 392 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14,\\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}\)   \((+)\)

\((x^2 + x^2) + (- 2y^2 + 2y^2) = 14 + 18\)

\(2x^2 = 32\)

\(x^2 = \frac{32}{2}\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm4\)

1) Если \(x = 4\), то

\(4^2 + 2y^2 = 18\)

\(16 + 2y^2 = 18\)

\(2y^2 = 18 - 16\)

\(2y^2 = 2\)

\(y^2 = \frac{2}{2}\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y = \pm1\)

2) Если \(x = -4\), то

\((-4)^2 + 2y^2 = 18\)

\(16 + 2y^2 = 18\)

\(y = \pm1\)

Ответ: \((4;1), (4;-1), (-4;1), (-4;-1)\).

б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 61,\\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}\)   \((+)\)

\((x^2 + x^2) + (y^2 - y^2) = 61 + 11\)

\(2x^2 = 72\)

\(x^2 = \frac{72}{2}\)

\(x^2 = 36\)

\(x = \pm\sqrt{36}\)

\(x = \pm6\)

\(x^2 - y^2 = 11\)

\(36 - y^2 = 11\)

\(-y^2 = -25\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm\sqrt{25}\)

\(y = \pm5\)

Ответ: \((6;5), (6;-5), (-6;5), (-6;-5)\).

в) \(\begin{cases} xy + x = 56,\\ xy + y = 54  /\times(-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy + x = 56,\\ -xy - y = -54 \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((xy - xy) + (x - y) = 56 - 54\)

\(x - y = 2\)

\(x = y + 2\)

2) \(xy + y = 54\)

\((y + 2)y + y = 54\)

\(y^2 + 2y + y - 54 = 0\)

\(y^2 + 3y - 54 = 0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-54) = \)

\(=9 + 216 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{225} = 15\).

\(y_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(y_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\).

3) Если \(y = -9\), то

\(x = -9 + 2 = -7\).

Если \(y = 6\), то

\(x = 6 + 2 = 8\).

Ответ: \((-7; -9)\), \((8; 6)\).

Пояснения:

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

Пояснение к пункту а).

В уравнениях стоят \(x^2\) и \(\pm 2y^2\). При сложении системы слагаемые \(-2y^2\) и \(+2y^2\) уничтожаются, остаётся \(2x^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.

Пояснение к пункту б).

Здесь при сложении \(+y^2\) и \(-y^2\) сокращаются, и сразу находится \(x^2\). Затем из второго уравнения находим \(y^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.

Пояснение к пункту в).

Если второе уравнение системы умножить на \((-1)\), то при сложении уравнений системы выражение \(xy\) исчезает, и получаем простое линейное соотношение \(x-y=2\). Далее подставляем \(x=y+2\) в одно из уравнений системы, получаем квадратное уравнение для \(y\), а затем находим \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \(\dfrac{x-3}{x+1}\ge 0\) и \((x-3)(x+1)\ge 0\)

\(x - 3 = 0, \Rightarrow x = 3\).

\(x + 1 = 0, \Rightarrow x = -1\).

Неравенства неравносильны, так как их решения не совпадают: \(x = -1\) не является решением первого неравенства, так как знаменатель должен быть отличен от нуля, но является решением второго неравенства.

Ответ: неравносильны.

б) \(\dfrac{x+5}{x-8}\le 0\) и \((x+5)(x-8)\le 0\)

\(x + 5 = 0, \Rightarrow x = -5\).

\(x - 8 = 0, \Rightarrow x = 8\).

Неравенства неравносильны, так как их решения не совпадают: \(x = 8\) не является решением первого неравенства, так как знаменатель должен быть отличен от нуля, но является решением второго неравенства.

Ответ: неравносильны.

Пояснения:

При переходе от дробного неравенства к произведению нельзя забывать, что знаменатель не должен обращаться в ноль. В дробном неравенстве точка, обращающая знаменатель в ноль, всегда исключается, независимо от знака неравенства.