Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, после чего воспользоваться правилами сложения или вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

или , где , и - многочлены, причём многочлены и - ненулевые.

Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное произведению знаменателей данных дробей. Но произведение знаменателей данных дробей не всегда является наиболее удобным общим знаменателем. Помним, что при нахождении общего знаменателя обыкновенных дробей мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично для нахождения общего знаменателя рациональных дробей может оказаться удобным предварительно разложить знаменатели на множители.

Пример 1. Найдите сумму дробей и .

Решение:

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей складываемых дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем степени, с которым она входит в знаменатели дробей. Тогда дополнительным множителем к первой дроби будет одночлен , ко второй дроби - одночлен . Получаем:

Пример 2. Найдите разность дробей и .

Решение:

Чтобы найти общий знаменатель вычитаемых дробей, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение . Тогда дополнительный множитель к первой дроби - , ко второй дроби - . Получаем:

Пример 3. Упростите выражение .

Решение:

Представим выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей, учитывая то, что простейшим общим знаменателем дробей будет выражение . Получаем:

Обратите внимание, сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями.

Советуем посмотреть:

Рациональные дроби

Основное свойство рациональной дроби

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Степень с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем

Функция y=k/x и её график.

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Элементы математической логики

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

8 класс

Номер 109, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 127, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 128, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 180, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 186, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 192, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 8, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 487, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 520, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 612, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник