Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, после чего воспользоваться правилами сложения или вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

или , где , , и - многочлены, причём многочлены и - ненулевые.

Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное произведению знаменателей данных дробей. Но произведение знаменателей данных дробей не всегда является наиболее удобным общим знаменателем. Помним, что при нахождении общего знаменателя обыкновенных дробей мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично для нахождения общего знаменателя рациональных дробей может оказаться удобным предварительно разложить знаменатели на множители.

Пример 1. Найдите сумму дробей и .

Решение:

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей складываемых дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем степени, с которым она входит в знаменатели дробей. Тогда дополнительным множителем к первой дроби будет одночлен , ко второй дроби - одночлен . Получаем:

Пример 2. Найдите разность дробей и .

Решение:

Чтобы найти общий знаменатель вычитаемых дробей, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение . Тогда дополнительный множитель к первой дроби - , ко второй дроби - . Получаем:

Пример 3. Упростите выражение .

Решение:

Представим выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей, учитывая то, что простейшим общим знаменателем дробей будет выражение . Получаем:

Обратите внимание, сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями.