Упражнение 396 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№396 учебника 2023-2026 (стр. 122):
Покажите с помощью графиков, что система уравнений
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ y = x^2 - 6 \end{cases}\)
имеет четыре решения, и найдите их.
№396 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Найдите три каких-нибудь решения уравнения:
а) \(x-2y=8\);
б) \(x+0y=10\);
в) \(x-xy=12\);
г) \((x+y)(y-2)=0\).
Подсказка
№396 учебника 2023-2026 (стр. 122):
Вспомните:
- Что называют решением системы уравнений с двумя переменными, графический способ решения систем уравнений с двумя переменными.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Уравнение окружности, ее график.
- Квадратичная функция, ее график.
- Степень с натуральным показателем.
- Вычитание рациональных чисел.
№396 учебника 2014-2022 (стр. 111):
Вспомните:
- Уравнения с двумя переменными.
- Умножение рациональных чисел.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
- Линейное уравнение с одной переменной.
- Деление и дроби.
Ответ
№396 учебника 2023-2026 (стр. 122):
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ y = x^2 - 6 \end{cases}\)
1) \( x^2 + y^2 = 25\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 5\).
2) \(y = x^2 - 6\) - парабола, ветви которой направлены вверх.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y\) | \(3\) | \(-2\) | \(-5\) | \(-6\) | \(-5\) | \(-2\) | \(3\) |
Ответ: \((-1,1; -4,9)\), \((1,1; -4,9)\),
\((-3,2; 3,9)\), \((3,2; 3,9)\).
Пояснения:
Решения системы - это точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
График уравнения \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность радиуса \(5\) с центром в начале координат.
График уравнения \(y = x^2 - 6\) — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \((0,-6)\). Строим параболу по точкам, составив таблицу.
При построении видно, что парабола пересекает окружность в четырёх точках: две точки с положительными значениями \(x\) и две симметричные им точки с отрицательными значениями \(x\).
Графический метод позволяет приближенно найти решения системы.
№396 учебника 2014-2022 (стр. 111):
а) \(x-2y=8\)
Если \(y=0 \), то
\(x-2\cdot0=8\)
\(x=8\)
Если \(y=1\), то
\(x-2\cdot1=8 \)
\(x - 2 = 8\)
\(x = 8 + 2\)
\(x=10\)
Если\(y=-1 \), то
\(x-2\cdot(-1)=8 \)
\(x + 2 = 8\)
\(x = 8 - 2\)
\(x=6\)
Ответ: \((8;0), (10;1), (6;-1)\).
б) \(x+0y=10\)
\(x=10\) при любом \(y\).
Ответ: \((10;0), (10;2), (10;-3)\).
в) \(x-xy=12\)
Если \(y = 0\), то
\(x-x\cdot0=12\)
\(x = 12\)
Если \(y=-1 \), то
\(x-x\cdot(-1)=12\)
\(x + x = 12\)
\(2x =12\)
\(x = \frac{12}{2}\)
\(x = 6\)
Если \(y = 2\), то
\(x-x\cdot2=12\)
\(x - 2x = 12\)
\(-x = 12\)
\(x = -12\)
Ответ: \((12;0), (6;-1), (-12;2)\).
г) \((x+y)(y-2)=0\)
Если \(y = 0\), то
\((x+0)(0-2)=0\)
\(-2x = 0\)
\(x = 0\)
Если \(y=1 \), то
\((x+1)(1-2)=0\)
\((x + 1)\cdot(-1) = 0\)
\(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)
Если \(y = 5\), то
\((x+5)(5-2)=0\)
\((x + 5)\cdot 3 = 0\)
\(x + 5 = 0\)
\(x = -5\)
Ответ: \((0;0), (-1;1), (-5;5)\).
Пояснения:
В задачах такого типа требуется найти любые три пары чисел \((x;y)\), которые удовлетворяют уравнению. Такие уравнения называют уравнениями с двумя переменными.
Основной приём — выразить одну переменную через другую или подставлять удобные значения.
Вернуться к содержанию учебника