Упражнение 393 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10,\\ y = \frac{3}{x} \end{cases}\)

\( x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10\)

\( x^2 + \frac{9}{x^2} = 10\)      \(/\times x^2\):

\( x^4 + 9 = 10x^2\)

\( x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 10t + 9 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)

\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(t_1 = \frac{10 + 8}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

\(t_2 = \frac{10 - 8}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

1) При \(t = 1\):

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm1\)

Если \(x = 1\), то

\( y = \frac{3}{1} = 3\).

Если \(x = -1\), то

\( y = \frac{3}{-1} = -3\).

2) При \(t = 9\):

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm\sqrt9\)

\(x = \pm3\)

Если \(x = 3\), то

\( y = \frac{3}{3} = 1\).

Если \(x = -3\), то

\( y = \frac{3}{-3} = -1. \)

Ответ: \((1;3)\), \((-1;-3)\), \((3;1)\), \((-3;-1)\).

Пояснения:

При решении системы использовали метод подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Подробное пояснение решения:

Из уравнения \(xy = 3\) выразили \(y\) через \(x\) и подставили в уравнение \(x^2 + y^2 = 10\). После избавления от дробей получили уравнение четвёртой степени, которое свели к квадратному уравнению относительно \(x^2\). Найдя возможные значения \(x\), для каждого из них вычислили соответствующее значение \(y\). Так как квадрат числа может иметь два знака, система имеет четыре решения.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \(\dfrac{x-8}{x+4} > 0\).

\((x-8)(x+4) > 0\)

\((x-8)(x+4) = 0\)

\(x - 8 = 0\)  или  \(x + 4 = 0\)

\(x = 8\)                 \(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-\infty;-4)\cup(8;+\infty)\).

б) \(\dfrac{x+16}{x-11} < 0\)

\((x+16)(x-11) < 0\)

\((x+16)(x-11) = 0\)

\(x + 16 = 0\)  или  \(x - 11 = 0\)

\(x = -16\)              \(x = 11\)

Ответ: \(x \in (-16;11)\).

в) \(\dfrac{x+1}{3-x} \ge 0\)

\(\begin{cases} (x+1)(3-x) \ge 0, \\ 3 - x \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+1)(3-x) \ge 0, \\ x \ne 3 \end{cases}\)

\((x+1)(3-x) \ge 0\)

\((x+1)(3-x) = 0\)

\(x + 1 = 0\)  или  \(3 - x = 0\)

\(x = -1\)               \(x = 3\)

Ответ: \(x \in [-1;3)\).

г) \(\dfrac{6-x}{x-4} \le 0\)

\(\begin{cases} (6-x)(x-4) \le 0, \\ x - 4 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (6-x)(x-4) \le 0, \\ x \ne 4 \end{cases}\)

\((6-x)(x-4) \le 0\)

\((6-x)(x-4) = 0\)

\(6 - x = 0\)  или  \(x - 4 = 0\)

\(x = 6\)                 \(x = 4\)

Ответ: \(x \in (-\infty;4)\cup[6;+\infty)\).

д) \(\dfrac{2x-4}{3x+3} \le 0\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ 3x+3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ 3x \ne -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x-4)(3x+3) \le 0, \\ x \ne -1 \end{cases}\)

\((2x-4)(3x+3) \le 0\)

\((2x-4)(3x+3) = 0\)

\(2x - 4 = 0\)  или  \(3x + 3 =0\)

\(2x = 4\)                  \(3x = -3\)

\(x = \frac42\)                   \(x = \frac{-3}{3}\)

\(x = 2\)                    \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-1;2]\).

е) \(\dfrac{5x-1}{2x+3} \ge 0\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ 2x+3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ 2x \ne -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5x-1)(2x+3) \ge 0, \\ x \ne -1,5 \end{cases}\)

\((5x-1)(2x+3) \ge 0\)

\((5x-1)(2x+3) = 0\)

\(5x - 1 = 0\)  или  \(2x + 3 = 0\)

\(5x = 1\)                  \(2x = -3\)

\(x = \frac15\)                   \(x = -\frac32\)

\(x = 0,2\)                \(x = -1,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 1,5)\cup\left[0,2;+\infty\right)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.