Упражнение 239 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x-5}\)

ОДЗ:

\(x - 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq 4;\)

\(x - 2 \ne0, \Rightarrow x\neq 2;\)

\(x + 4 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -4;\)

\(x - 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq 5. \)

\(\dfrac{1}{x-4} ^{\color{blue}{\backslash x+4}} -\dfrac{1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash x - 4}} =\dfrac{1}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash x -2}} - \dfrac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash x -5}} \)

\(\dfrac{(x+4)-(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{(x-2)-(x-5)}{(x-5)(x-2)}\)

\(\dfrac{\cancel x+4-\cancel x+4}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{\cancel x-2-\cancel x+5}{(x-5)(x-2)}\)

\(\dfrac{8}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{3}{(x-5)(x-2)}\)

\(8(x-5)(x-2) = 3(x-4)(x+4)\)

\(8(x^2 - 2x -5x + 10) =3(x^2 - 16)\)

\(8(x^2 - 7x + 10) =3x^2 - 48\)

\(8x^2 - 56x + 80 =3x^2 - 48\)

\(8x^2 - 56x + 80 - 3x^2 + 48 = 0\)

\(5x^2 - 56x + 128 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -56\),  \(c = 128\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=56^{2}-4\cdot5\cdot128=\)

\(=3136 - 2560=576 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 24\).

\(x_{1} = \frac{56 + 24}{2\cdot5} =\frac{80}{10} = 8.\)

\(x_{2} = \frac{56 - 24}{2\cdot5} =\frac{32}{10} = 3,2.\)

Ответ: \(x=8,\; x=3,2.\)

б) \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x+28}+\dfrac{1}{x}\)

ОДЗ: \(x  \ne 0; \)

\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1;\)

\(x + 3 \ne0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x + 28 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -28.\)

\(\dfrac{1}{x+1} ^{\color{blue}{\backslash x}} -\dfrac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+1}} =\dfrac{1}{x+28} ^{\color{blue}{\backslash x+3}} - \dfrac{1}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash x+28}} \)

\(\dfrac{x - (x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{(x+3)-(x+28)}{(x+28)(x+3)}\)

\(\dfrac{\cancel x - \cancel x -1}{x(x+1)}=\dfrac{\cancel x+3-\cancel x-28}{(x+28)(x+3)}\)

\(-\dfrac{1}{x(x+1)}=-\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)

\(\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)

\((x+28)(x+3) = 25x(x+1)\)

\(x^2 + 3x + 28x + 84 = 25x^2 + 25x\)

\(x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x\)

\(x^2 + 31x + 84 - 25x^2 - 25x = 0\)

\(-24x^2 + 6x + 84\)  \(/ :(-6)\)

\(4x^{2}-x-14=0 \)

\(a = 4\),  \(b = -1\),  \(c = -14\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^{2}-4\cdot4\cdot(-14)=\)

\(=1+224=225 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 15\).

\(x_{1} = \frac{1 + 15}{2\cdot4} =\frac{16}{8} = 2.\)

\(x_{2} = \frac{1 - 15}{2\cdot4} =\frac{-14}{8} = \frac{-7}{4}=-1\frac34.\)

Ответ: \(x=2,\; x=-1\dfrac{3}{4}.\)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

В каждом уравнении удобно сначала получить разности, для этого переносим по одному слагаемому из одной стороны уравнения в другую. Затем вычесть дроби на каждой стороне, приводя их к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.

\(y = x^{2} + bx + c\)

\((6,-12)\) - вершина.

1) \( x_{0} = -\frac{b}{2a} \)

\( 6 = -\frac{b}{2} \)

\(b = -6\cdot2\)

\(b = -12\)

2) \(y_0 = x_0^{2} + bx_0 + c\)

\( -12 = 36 -12\cdot 6 + c\)

\( -12 = 36 - 72 + c \)

\( -12 = -36 + c \)

\(c = -12 + 36\)

\( c = 24 \)

Ответ: при \( b = -12,    c = 24. \)

Пояснения:

Для параболы \(y = ax^{2} + bx + c\) абсцисса вершины:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a}. \]

В рассматриваемом случае \(a = 1\), поэтому формула упрощается до:

\( x_{0} = -\frac{b}{2}, \) откуда находим значение коэффициента \(b = -2x_0\).

Так как точка \((6,-12)\) лежит на графике функции, её координаты удовлетворяют равенству:

\( y = x^{2} + bx + c\), выполняя подстановку в это уравнение вместо \(x\) и \(y\) координат вершины и найденного коэффициента \(b\), получим уравнение, которое позволяет найти коэффициент \(c\).