Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Решите уравнение:
а) \(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x-5};\)
б) \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x+28}+\dfrac{1}{x}.\)
1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.
Вспомните:
а) \(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x-5}\)
ОДЗ:
\(x - 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq 4;\)
\(x - 2 \ne0, \Rightarrow x\neq 2;\)
\(x + 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq -4;\)
\(x - 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq 5. \)
\(\dfrac{1}{x-4} ^{\color{blue}{\backslash x+4}} -\dfrac{1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash x - 4}} =\dfrac{1}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash x -2}} - \dfrac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash x -5}} \)
\(\dfrac{(x+4)-(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{(x-2)-(x-5)}{(x-5)(x-2)}\)
\(\dfrac{\cancel x+4-\cancel x+4}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{\cancel x-2-\cancel x+5}{(x-5)(x-2)}\)
\(\dfrac{8}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{3}{(x-5)(x-2)}\)
\(8(x-5)(x-2) = 3(x-4)(x+4)\)
\(8(x^2 - 2x -5x + 10) =3(x^2 - 16)\)
\(8(x^2 - 7x + 10) =3x^2 - 48\)
\(8x^2 - 56x + 80 =3x^2 - 48\)
\(8x^2 - 56x + 80 - 3x^2 + 48 = 0\)
\(5x^2 - 56x + 128 = 0\)
\(a = 5\), \(b = -56\), \(c = 128\)
\( D = b^2 - 4ac=\)
\(=56^{2}-4\cdot5\cdot128=\)
\(=3136 - 2560=576 >0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 24\).
\(x_{1} = \frac{56 + 24}{2\cdot5} =\frac{80}{10} = 8.\)
\(x_{2} = \frac{56 - 24}{2\cdot5} =\frac{32}{10} = 3,2.\)
Ответ: \(x=8,\; x=3,2.\)
б) \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x+28}+\dfrac{1}{x}\)
ОДЗ: \(x \ne 0; \)
\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1;\)
\(x + 3 \ne0, \Rightarrow x\neq -3;\)
\(x + 28 \ne 0, \Rightarrow x\neq -28.\)
\(\dfrac{1}{x+1} ^{\color{blue}{\backslash x}} -\dfrac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+1}} =\dfrac{1}{x+28} ^{\color{blue}{\backslash x+3}} - \dfrac{1}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash x+28}} \)
\(\dfrac{x - (x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{(x+3)-(x+28)}{(x+28)(x+3)}\)
\(\dfrac{\cancel x - \cancel x -1}{x(x+1)}=\dfrac{\cancel x+3-\cancel x-28}{(x+28)(x+3)}\)
\(-\dfrac{1}{x(x+1)}=-\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)
\(\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)
\((x+28)(x+3) = 25x(x+1)\)
\(x^2 + 3x + 28x + 84 = 25x^2 + 25x\)
\(x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x\)
\(x^2 + 31x + 84 - 25x^2 - 25x = 0\)
\(-24x^2 + 6x + 84\) \(/ :(-6)\)
\(4x^{2}-x-14=0 \)
\(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -14\)
\( D = b^2 - 4ac=\)
\(=(-1)^{2}-4\cdot4\cdot(-14)=\)
\(=1+224=225 >0\) - 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 15\).
\(x_{1} = \frac{1 + 15}{2\cdot4} =\frac{16}{8} = 2.\)
\(x_{2} = \frac{1 - 15}{2\cdot4} =\frac{-14}{8} = \frac{-7}{4}=-1\frac34.\)
Ответ: \(x=2,\; x=-1\dfrac{3}{4}.\)
Пояснения:
При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).
В каждом уравнении удобно сначала получить разности, для этого переносим по одному слагаемому из одной стороны уравнения в другую. Затем вычесть дроби на каждой стороне, приводя их к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.
Вернуться к содержанию учебника