Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Рассмотрим выражение

Используя теорему об арифметическом квадратном корне из произведения, получим:

(1)

Данное выражение мы представили в виде произведения рационального числа 6 и иррационального числа Данное преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня, мы вынесли из-под корня множитель 6.

Пример 1: Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Представим подкоренное выражение в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рационального числа, тогда мы можем записать:

3) Нам известно, что значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным, поэтому из условия следует, что Тогда имеем:

4) Нам известно, что значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным, поэтому из условия следует, что Тогда имеем:

5) Квадрат любого числа есть число неотрицательное, то есть  , учитывая это и то, что значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным, получаем, что Тогда имеем:

Рассмотрим преобразование (1) в обратном порядке:

(2)

Данное преобразование называют внесением множителя под знак корня. Мы внесли под знак корня множитель 6.

Пример 2: Внесите множитель под знак корня:

2)  Если , то  ; если , то

3)  Так как значение подкоренного выражения должно быть неотрицательным, то , тогда:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы её знаменатель не содержал квадратного корня.

Пример 3: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: