Упражнение 476 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{25}{12},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{25}{12}\)

Пусть \(\frac xy = t\), тогда

\(t + \frac1t = \frac{25}{12}\)   \(/\times 12t\)

\(12t^2 + 12 = 25t\)

\(12t^2 - 25t + 12 = 0\)

\(D = (-25)^2 - 4\cdot12\cdot12 = \)

\(=625 - 576 = 49 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(t_1 = \frac{25 + 7}{2\cdot12} =\frac{32}{24} =\frac{4}{3}\).

\(t_2 = \frac{25 - 7}{2\cdot12} =\frac{18}{24} =\frac{3}{4}\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=\dfrac{4}{3}y,\\[6pt] \left(\dfrac{4}{3}y\right)^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\left(\dfrac{4}{3}y\right)^2-y^2=7\)

\(\dfrac{16}{9}y^2-y^2=7\)  \(/\times9\)

\(16y^2 - 9y^2 = 63\)

\(7y^2 = 63\)

\(y^2 = \frac{63}{7}\)

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm\sqrt9\)

\(y = \pm3\).

Если \(y = 3\), то

\(x = \frac43\cdot3 = 4\).

Если \(y = -3\), то

\(x = \frac43\cdot(-3) = -4\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=\dfrac{3}{4}y,\\[6pt] \left(\dfrac{3}{4}y\right)^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\left(\dfrac{3}{4}y\right)^2-y^2=7\)

\(\dfrac{9}{16}y^2-y^2=7\)  \(/\times 16\)

\(9y^2 - 16y^2 = 112\)

\(-7y^2 = 112\)

\(y^2 = \frac{112}{-7}\)

\(y^2 = -16\) - не имеет корней.

Ответ: \( (4;3),\;(-4;-3) \).

б) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=2{,}1,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=2{,}1\)

Пусть \(\frac xy = t\), тогда

\(t - \frac1t = 2,1\)   \(/\times 10t\)

\(10t^2 - 10 = 21t\)

\(10t^2 - 21t - 10 = 0\)

\(D = (-21)^2 - 4\cdot10\cdot(-10)= \)

\(= 441 + 400 = 841 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {841} = 29\).

\(t_1 = \frac{21 + 29}{2\cdot10} = \frac{50}{20} = \frac52 = 2,5\).

\(t_2 = \frac{21 - 29}{2\cdot10} = \frac{-8}{20} = \frac{-4}{10} = -0,4\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=2,5,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2,5y,\\ (2,5y)^2+y^2=29\end{cases}\)

\((2,5y)^2+y^2=29\)

\(6,25y^2 + y^2 = 29\)

\(7,25y^2 = 29\)

\(y^2 = \frac{29}{7,25}\)

\(y^2 = \frac{2900}{725}\)

\(y^2 = 4\)

\(y = \pm\sqrt4\)

\(y = \pm2\)

Если \(y = 2\), то

\(x = 2,5\cdot2 = 5\).

Если \(y = -2\), то

\(x = 2,5\cdot(-2) = -5\).

2) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=-0,4,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-0,4y,\\ (-0,4y)^2+y^2=29\end{cases}\)

\((-0,4y)^2+y^2=29\)

\(0,16y^2 + y^2 = 29\)

\(1,16y^2 = 29\)

\(y^2 = \frac{29}{1,16}\)

\(y^2 = \frac{2900}{116}\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm\sqrt{25}\)

\(y = \pm5\)

Если \(y = 5\), то

\(x = -0,4\cdot5 = -2\).

Если \(y = -5\), то

\(x = -0,4\cdot(-5) = 2\).

Ответ: \((5; 2)\), \((-5; -2)\), \((2; -5)\),

\((-2; 5)\).

Пояснения:

В каждой системе сначала преобразуем первое уравнение, для этого вводим переменную \(t = \frac{x}{y}\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac1t\). Получаем дробно-рациональное уравнение относительно \(t\), домножив которое на \(t\) получаем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), решаем его через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D>0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Решив квадратное уравнение, получаем в каждом случае \(\frac{x}{y}=\pm a\). Тем самым решение систем сводится к решению совокупностей систем. Каждую систему решаем способом подстановки.

Пусть объем меди равен \(x\) см³, а объем олова равен \(y\) см³ (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда

\(x - y = 20\).

Плотность меди: \(\frac{438}{x} \) г/см³.

Плотность олова: \(\frac{356}{y} \) г/см³. Тогда

\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{16}{10} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5} \end{cases} \]

\(\frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5}\)   \(/\times 5y(y + 20)\)

\(1780(y + 20) - 2190y = 8y(y+20)\)

\(1780y + 35600 - 2190y = 8y^2 + 160y\)

\(35600 - 410y = 8y^2 + 160y\)

\(8y^2 + 160y + 410y - 35600 = 0\)

\(8y^2 + 570y - 35600 = 0\)  \(/ :2\)

\(4y^2 + 285y - 17800 = 0\)

\(D = 285^2 - 4\cdot4\cdot17800 = \)

\(=81\,225 - 284\,800 =\)

\(=366\,025 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{366\,025} = \sqrt{121\cdot3025} = \)

\(=11\cdot55 = 605\).

\(y_1 = \frac{-285 + 605}{2\cdot4} = \frac{320}{8} = 40\).

\(y_2 = \frac{-285 - 605}{2\cdot4} = \frac{-890}{8} = \)

\(=- \frac{445}{4} = -111\frac14\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 40\), то

\(x = 40 + 20 = 60\).

Ответ: объём меди \(60\ \text{см}^3\), объём олова \(40\ \text{см}^3\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Связь массы, объёма и плотности:

\[ \rho=\frac{m}{V}.\]

2. Если объём олова на 20 меньше объёма меди, то \(x - y = 20\).

3. Если плотность олова больше плотности меди на \(1{,}6\), то

\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]

4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение решения:

Мы выразили плотности через массы и объемы с помощью формулы \(\rho=\frac{m}{V}\). Затем использовали условие разности плотностей и получили уравнение с дробями. После подстановки \(x = y + 20\) получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень (объем не может быть отрицательной). Нашли объем второго куска.