Упражнение 480 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}4x(x+y)+y^2=49,\\ 4x(x-y)+y^2=81\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x^2+4xy+y^2=49,\\ 4x^2-4xy+y^2=81\end{cases}\)

\[ \begin{cases} (2x + y)^2=49,\\ (2x -y)^2=81 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 2x + y=\pm7,\\ 2x -y=\pm9 \end{cases} \]

1) \( \begin{cases} 2x + y=7,\\ 2x -y=9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=7 - 2x,\\ 2x -(7 - 2x)=9 \end{cases} \)

\(2x -(7 - 2x)=9\)

\(2x - 7 + 2x = 9\)

\(4x = 9 + 7\)

\(4x = 16\)

\(x = \frac{16}{4}\)

\(x = 4\)

\(y = 7 - 2\cdot4 = 7 - 8 = -1\).

2) \( \begin{cases} 2x + y=7,\\ 2x -y=-9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=7 - 2x,\\ 2x -(7 - 2x)=-9 \end{cases} \)

\(2x -(7 - 2x)=-9\)

\(2x - 7 + 2x = -9\)

\(4x = -9 + 7\)

\(4x = -2\)

\(x = -\frac{2}{4}\)

\(x = -0,5\)

\(y = 7 - 2\cdot(-0,5) = 7 + 1 = 8\).

3) \( \begin{cases} 2x + y=-7,\\ 2x -y=9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=-7 - 2x,\\ 2x -(-7 - 2x)=9 \end{cases} \)

\(2x -(-7 - 2x)=9\)

\(2x + 7 + 2x = 9\)

\(4x = 9 - 7\)

\(4x = 2\)

\(x = \frac24\)

\(x = 0,5\)

\(y = -7 - 2\cdot0,5 = -7 - 1 = -8\).

4) \( \begin{cases} 2x + y=-7,\\ 2x -y=-9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=-7 - 2x,\\ 2x -(-7 - 2x)=-9 \end{cases} \)

\(2x -(-7 - 2x)=-9\)

\(2x + 7 + 2x = -9\)

\(4x = -9 - 7\)

\(4x = -16\)

\(x = -\frac{16}{4}\)

\(x = -4\)

\(y = -7 - 2\cdot(-4) = -7 + 8 = 1\).

Ответ: \((4;-1),\;(-4;1),\)

\((0,5;-8),\;(-0,5;8)\).

б) \(\begin{cases}3x(3x-4y)+4y^2=64,\\ 3x(3x+4y)+4y^2=16\end{cases}\)

\(\begin{cases}9x^2-12xy+4y^2=64,\\ 9x^2+12xy+4y^2=16\end{cases}\)

\[ \begin{cases}(3x - 2y)^2=64,\\ (3x + 2y)^2=16 \end{cases} \]

\[ \begin{cases}3x - 2y=\pm8,\\ 3x + 2y=\pm4 \end{cases} \]

1) \( \begin{cases}3x - 2y=8,\\ 3x + 2y=4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = 12\)

\(x = \frac{12}{6} \)

\(x = 2\)

\(3\cdot2 - 2y = 8\)

\(6 - 2y = 8\)

\(-2y = 8-6\)

\(-2y = 2\)

\(y = -1\)

2) \( \begin{cases}3x - 2y=8,\\ 3x + 2y=-4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = 4\)

\(x = \frac{4}{6}\)

\(x = \frac23\).

\(3\cdot\frac23 - 2y = 8\)

\(2 - 2y = 8\)

\(-2y = 8 - 2\)

\(-2y = 6\)

\(y = -\frac62\)

\(y = -3\)

3) \( \begin{cases}3x - 2y=-8,\\ 3x + 2y=4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = -4\)

\(x = -\frac{4}{6}\)

\(x = -\frac23\).

\(3\cdot(-\frac23) - 2y = -8\)

\(-2 - 2y = -8\)

\(-2y = -8 + 2\)

\(-2y = -6\)

\(y = \frac{6}{2}\)

\(y = 3\)

4) \( \begin{cases}3x - 2y=-8,\\ 3x + 2y=-4 \end{cases} \)  \((+)\)

\(6x = -12\)

\(x = -\frac{12}{6}\)

\(x = -2\).

\(3\cdot(-2) - 2y = -8\)

\(-6 - 2y = -8\)

\(-2y = -8 + 6\)

\(-2y = -2\)

\(y = 1\)

Ответ: \((2;-1),\;(-2;1),\)

\(\left(\dfrac{2}{3};-3\right),\;\left(-\dfrac{2}{3};3\right)\).

Пояснения:

В каждом уравнении систем сначала раскрываем скобки:

Раскрытие скобок: \(a(b\pm c)=ab\pm ac\).

Затем применяем формулы квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\),

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\).

Затем решаем уравнения вида

\(x^2 = a\), которое имеет корни

\(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Тем самым из каждой системы получаем совокупность четырех систем. Каждую их этих систем в пункте а) решаем способом подстановки, а в пункте б) способом сложения и в каждом случае для исходной системы получаем четыре решения.

а) \( \begin{cases} y=x^2-3x+3,\\ 2x-y-1=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-1=x^2-3x+3,\\ y=2x-1 \end{cases} \)

\(2x-1=x^2-3x+3\)

\(x^2 - 3x + 3 - 2x + 1 = 0\)

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 = \)

\( = 25 - 16 = 9 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt 9 = 3\)

\(x_1 = \frac{5 + 3}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{5 - 3}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Если \(x=4\), то

\[ y=2\cdot 4-1=7. \]

Если \(x=1\), то

\[ y=2\cdot 1-1=1. \]

Ответ: пересекаются в точках \((4; 7)\) и \((1; 1)\).

б) \( \begin{cases} x^2+y^2=100,\\ x+y=14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2+(14-x)^2=100,\\ y=14 - x \end{cases} \)

\[ x^2+(14-x)^2=100 \]

\[ x^2+196-28x+x^2-100=0 \]

\( 2x^2-28x+96=0 \)   \(/ : 2\)

\[ x^2-14x+48=0 \]

\(a = 1\),  \(b = -14\),  \(c = 48\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot48 = \)

\( = 196 - 192 = 4 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt 4 = 2\)

\(x_1 = \frac{14 + 2}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(x_2 = \frac{14 - 2}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

Если \(x=8\), то

\[ y=14-8=6. \]

Если \(x=6\), то

\[ y=14-6=8. \]

Ответ: пересекаются в точках \((6;8)\) и \((8;6)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Чтобы найти точки пересечения двух графиков, нужно решить систему их уравнений.

\[ \begin{cases} y=f(x),\\ y=g(x) \end{cases} \]

2. Метод подстановки:

Из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое уравнение.

3. После подстановки в каждом случае получается квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), которое решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

4. Для нахождения второй координаты точки найденное значение \(x\) подставляют в уравнение прямой.