Упражнение 473 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}x^2+xy-2y^2-x+y=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+xy-y^2-y^2-x+y=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2-y^2)+(xy-y^2)-(x-y)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+y)+y(x-y)-(x-y)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+y+y-1)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+2y-1)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-y=0,\\ x^2+y^2=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x,\\ x^2+x^2=8;\end{cases}\)

\( x^2+x^2=8 \)

\(2x^2=8 \)

\(x^2 = \frac82\)

\(x^2=4 \)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x=2 \text{ или } x=-2 \)

Если \(x = 2\), то \(y = 2\).

Если \(x = -2\), то \(y = -2\).

2) \(\begin{cases}x+2y-1=0,\\ x^2+y^2=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1-2y,\\ (1-2y)^2+y^2=8\end{cases}\)

\( (1-2y)^2+y^2=8 \)

\( 1-4y+4y^2+y^2-8=0\)

\( 5y^2-4y-7=0\)

\( D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-7)=\)

\(=16+140=156 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{156}=\sqrt{4\cdot39}=2\sqrt{39} \).

\( y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{39}}{2\cdot5}=\frac{2\pm \sqrt{39}}{5}. \)

Если \( y=\frac{2\pm \sqrt{39}}{5}, \) то

\(x = 1 - 2\cdot\frac{2+ \sqrt{39}}{5} = \)

\(=1 ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{4+ 2\sqrt{39}}{5} = \)

\(=\frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 -2\sqrt{39}}{5}. \)

Если \( y=\frac{2 - \sqrt{39}}{5}, \) то

\(x = 1 - 2\cdot\frac{2- \sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}. \)

Ответ: \((2;\,2)\), \((-2;\,-2)\),

\(\left(\dfrac{1-2\sqrt{39}}{5};\dfrac{2+\sqrt{39}}{5}\right),\)

\(\;\left(\dfrac{1+2\sqrt{39}}{5};\dfrac{2-\sqrt{39}}{5}\right).\)

б) \(\begin{cases}x^2-6xy+5y^2-x+5y=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-5xy-xy+5y^2-x+5y=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x(x-5y)-y(x-5y)-(x-5y)=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-5y)(x-y-1)=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-5y=0,\\ x^2-20y^2=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=5y,\\ (5y)^2-20y^2=5\end{cases}\)

\((5y)^2-20y^2=5 \)

\(25y^2-20y^2=5\)

\(5y^2=5 \)

\(y^2=1 \)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y=1 \text{ или } y=-1 \)

Если \(y = 1\), то

\(x = 5\cdot1 = 5\).

Если \(y = -1\), то

\(x = 5\cdot(-1) = -5\).

2) \(\begin{cases}x-y-1=0,\\ x^2-20y^2=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x= y + 1,\\ (y + 1)^2-20y^2=5\end{cases}\)

\((y+1)^2-20y^2=5 \)

\( y^2+2y+1-20y^2-5=0 \)

\(-19y^2+2y-4=0 \)  \(/\times(-1)\)

\(19y^2-2y+4=0 \)

\( D=(-2)^2-4\cdot 19\cdot 4=\)

\(=4-304=-300<0 \) - корней нет.

Ответ: \((5;1),\;(-5;-1)\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Если произведение равно нулю, то

\(\;ab=0 \Rightarrow a=0\) или \(b=0\).

2) Разложение на множители часто делается с помощью группировки и вынесения общего множителя:

\[ ab+ac=a(b+c). \]

3) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D >0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

Если \(D<0\), то действительных корней нет.

4) Разность квадратов двух выражений:

\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

5) Неполное квадратное уравнение:

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

6) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

7) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

8) Свойство арифметического квадратного корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).

Пояснение к а):

Первое уравнение удалось разложить как \((x-y)(x+2y-1)=0\), поэтому рассматриваются два случая. В каждом случае связь между \(x\) и \(y\) подставляется во второе уравнение \(x^2+y^2=8\), и находятся пары \((x;y)\).

Пояснение к б):

Первое уравнение группировкой приводится к

\((x-5y)(x-y-1)=0\).

При \(x=5y\) получаются действительные решения. При \(x=y+1\) выходит квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, поэтому действительных решений нет.

\(54\) мин = \(\frac{54}{60} \) ч = \(\frac{9}{10}\) ч.

Пусть скорость туриста из \(M\) равна \(x\) км/ч, а туриста из \(N\) - \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)).

По условию скорости отличаются на 1 км/ч:

\[ y - x =1. \]

Время движения туриста из \(M\):  \( \frac{18}{x}\) ч, туриста из \(N\):  \( \frac{18}{y} \) ч. В пункт \(N\) турист прибыл на \(\frac{9}{10}\) ч позже:

\[ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y-x=1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y= x + 1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10} \end{cases} \]

\( \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10}\)   \(/\times10x(x+1)\)

\(180(x+1) -180x =9x(x+1)\)

\(\cancel{180x} + 180 - \cancel{180x} = 9x^2 + 9x\)

\(180 = 9x^2 + 9x\)

\(9x^2 + 9x - 180 = 0\)   \( / : 9\)

\(x^2 + x - 20 = 0\)

\(D = 1^2 = 4\cdot1\cdot20 =\)

\(=1 + 80 = 81 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{81} = 9\).

\(x_1 = \frac{-1 + 9}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{-1 - 9}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 4\), то

\(y = 4 + 1 = 5\).

Ответ: скорости туристов \(4\) км/ч и \(5\) км/ч.

Пояснения:

Правила и формулы, которые использовались:

1. Время движения: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).

2. Перевод минут в часы:

\(\;54\text{ мин}=\dfrac{54}{60}=\dfrac{9}{10}\text{ ч}\).

3. Если один приехал позже, то его время больше:

\(\;t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=\dfrac{9}{10}\).

4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение шагов:

Первое уравнение \(y - x=1\) задаёт разницу скоростей. Второе уравнение получено из разности времён прохождения одинакового расстояния 18 км. После подстановки получилось квадратное уравнение, из которого взяли положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной.