Упражнение 474 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}x^2-3xy+14=0,  /\times2 \\ 3x^2+2xy-24=0   /\times3\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x^2-6xy+28=0, \\ 9x^2+6xy-72=0 \end{cases}\)   \((+)\)

\(11x^2 - 44 = 0\)

\(11x^2 = 44\)

\(x^2 = \frac{44}{11}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x=2\) или \(x=-2\)

Если \(x=2\),то

\(2^2-3\cdot2y+14=0\)

\(4 - 6y + 14 = 0\)

\(-6y + 18 = 0\)

\(6y = 18\)

\(y = \frac{18}{6}\)

\(y = 3\).

Если \(x=-2\), то

\((-2)^2-3\cdot(-2)y+14=0\)

\(4 + 6y + 14 = 0\)

\(6y + 18 = 0\)

\(6y = -18\)

\(y = \frac{-18}{6}\)

\(y = -3\).

Ответ: \((2;3),\;(-2;-3)\).

б) \(\begin{cases}2x^2-6y=xy,  /\times(-0,5)\\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x^2+3y=-0,5xy, \\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)   \((+)\)

\(2x^2 - 5y = 0\)

\(5y = 2x^2\)   \(/ : 5\)

\(y = 0,4x^2\)

\(\begin{cases} y = 0,4x^2, \\ 3x^2-8y=0{,}5xy\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 0,4x^2, \\ 3x^2-8\cdot 0,4x^2=0{,}5x\cdot 0,4x^2\end{cases}\)

\(3x^2-8\cdot 0,4x^2=0{,}5x\cdot 0,4x^2\)

\(3x^2 - 3,2x^2 = 0,2x^3\)

\(-0,2x^2 = 0,2x^3\)

\(0,2x^3 + 0,2x^2 = 0\)

\(0,2x^2(x + 1) = 0\)

\(x^2 = 0\)  или  \(x + 1 = 0\)

\(x = 0\)            \(x = -1\)

Если \(x = 0\), то

\(y = 0,4\cdot0^2 = 0\).

Если \(x = -1\), то

\(y = 0,4\cdot(-1)^2 = 0,4\cdot1 = 0,4\).

Ответ: \((0;0),\;(-1;0,4)\).

Пояснения:

Если в уравнениях встречается произведение \(xy\), удобно использовать способ сложения при решении систем уравнений, это позволяет выразить одну переменную через другую, а затем воспользоваться способом подстановки при решении систем уравнений.

\(30\text{ мин}=\dfrac{1}{2}\text{ ч}\).

\(25\text{ мин}=\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12}\text{ ч}\)

Пусть скорость мотоциклиста, выехавшего из \(M\), равна \(x\) км/ч, а мотоциклиста, выехавшего из \(N\) равна \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда

\(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).

Время прибытия в \(N\) для первого: \(\dfrac{50}{x}\), в \(M\) для второго: \(\dfrac{50}{y}\). По условию в \(M\) прибыли на 25 мин раньше, чем в \(N\):

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\)

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+y)=50,  /\times 2 \\[6pt] \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x+y=100,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y=100 - x,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12}\)  \(/\times 12x(100 - x\)\)

\(600(100 - x) - 600x =5x(100 -x)\)

\(60\,000 - 600x - 600x = 500x - 5x^2\)

\(60\,000 - 1200x = 500x - 5x^2\)

\(60\,000 - 1200x - 500x + 5x^2 = 0\)

\(5x^2 -1700x + 60\,000 = 0\)  \(/ : 5\)

\(x^2 - 340x + 12\,000 = 0\)

\( D=(-340)^2-4\cdot 1\cdot 12000=\)

\(=115600-48000=67600 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{67600}=260\).

\( x_1=\frac{340-260}{2\cdot1} = \frac{80}{2} =40 \).

\( x_2=\frac{340+260}{2\cdot1} = \frac{600}{2} =300 \) - не удовлетворяет условию задачи.

Если \(x =- 40\), то

\(y=100-40=60\).

Ответ: скорость мотоциклиста из \(M\): \(40\) км/ч, из \(N\): \(60\) км/ч.

Пояснения:

Правила и формулы:

1) Путь: \(\;s=vt\), время: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).

2) При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей: \(\;v_{\text{сбл}}=x+y\).

3) Разность моментов прибытия выражается разностью времен.

4) Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Почему получились уравнения системы:

За \(\dfrac{1}{2}\) часа до встречи оба вместе проехали 50 км, значит \(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).

Чтобы доехать до противоположного пункта, каждому нужно проехать 50 км: времена в пути \(\dfrac{50}{x}\) и \(\dfrac{50}{y}\).

Так как в \(M\) прибыли на \(\dfrac{5}{12}\) часа раньше, чем в \(N\), записываем

\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\) (в \(M\) приехал мотоциклист из \(N\), значит его время меньше).

Проверка смысла ответа:

\(\dfrac{50}{40}=1{,}25\text{ ч}=75\text{ мин}\),

\(\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}\text{ ч}=50\text{ мин}\),

разница \(75-50=25\) мин — условие выполняется.